Exame-qualificação-eletro-2020-2.pdf
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                    Universidade Federal de Alagoas
Programa de Pós-Graduação do Instituto de Física
Exame de Qualificação de Doutorado - Eletromagnetismo
Professor: Paulo Brandão
12/08/2020

Nome:

2020.2
1. Equação de Poisson num material não-homogêneo
Mostre que a equação diferencial satisfeita pelo potencial eletrostático Φ(~r) num material não-homogêneo e
~ é dada por
linear (a polarização P~ é linearmente proporcional ao campo elétrico E)
~
~ r) = − ρf (~r) ,
∇2 Φ(~r) + ∇[ln
ε(~r)] · ∇Φ(~
ε(~r)

(1)

onde ε(~r) [F/m] é a permissividade elétrica que varia com a posição ~r e ρf (~r) é a densidade volumétrica de
cargas livres presente no material.
2. Uma transformação que deixa as equações de Maxwell invariantes
(a) Mostre que as equações de Maxwell (dependentes do tempo) no vácuo, e sem a presença de fontes, são
invariantes sob as transformações
~ 0 = aE
~ + bcB
~
E

~ 0 = −bE
~ + aB,
~
B
c

(2)

onde a e b são constantes e c é a velocidade da luz.
~ ·E
~ + (1/2µ0 )B
~ ·B
~ [J/m3 ] é invariante com relação
(b) Sob quais condições a densidade de energia u = (ε0 /2)E
à transformação (2)?
3. Energia total de uma casca esférica carregada que gira
Uma casca esférica de raio R uniformemente carregada com carga q gira com uma velocidade angular ω. Os
campos dentro e fora da esfera são dados por
r<R:
r>R:

~ =
E

~ = 0,
E

q
r̂,
4πε0 r2

~ = 3 µ0 σRωẑ
B
2
~ = µ0 m (2r̂ cos θ + θ̂ sin θ),
B
4πr3

(3)
(4)

onde σ = q/(4πR2 ) é a densidade superficial de cargas e m = (3/4)πσωR4 o momento de dipolo magnético
da distribuição. O sistema de coordenadas utilizado para escrever as equações (3) e (4) é o esférico. Calcule
a energia total (Joules) contida no campo eletromagnético deste
√ sistema e mostre que, para uma velocidade
angular ω fixa, o sistema possui menor energia quando R = 3c/ 2ω, onde c é a velocidade da luz.
4. Um modelo eletrostático para o átomo
Podemos modelar a densidade de cargas presente num átomo através de

(
ρ0
ρ(r) =
ρ0
bρ0
− b−a
r + b−a

se r ∈ [0, a]
se r ∈ [a, b]

onde ρ0 , a e b são constantes positivas com b > a. (a) Faça um gráfico da densidade de cargas. (b) Calcule o
campo elétrico fora desta distribuição (r > b).