Carlos Antunis Bonfim da Silva Santos (2026).pdf
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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS-UFAL
CAMPUS A. C. SIMÕES
FÍSICA DA MATÉRIA CONDENSADA

CARLOS ANTUNIS BONFIM DA SILVA SANTOS

PROCESSAMENTO EM CHIP FOTÔNICO DE UM BIT DE INFORMAÇÃO
QUÂNTICA CODIFICADA EM FÓTONS TORCIDOS

MACEIÓ - AL
2026

CARLOS ANTUNIS BONFIM DA SILVA SANTOS

PROCESSAMENTO EM CHIP FOTÔNICO DE UM BIT DE
INFORMAÇÃO QUÂNTICA CODIFICADA EM FÓTONS TORCIDOS
Monografia apresentada como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre em Física da
Matéria Condensada da Universidade Federal de
Alagoas - UFAL, Campus A. C. Simões.
Orientador:
Jesus Silva

Maceió - AL
2026

Prof.

Dr.

Alcenísio José de

PARECER DA BANCA EXAMINADORA DE DEFESA DE
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

“Processamento em Chip Fotônico de um Bit de Informação
Quântica Codificada em Fótons Torcidos”
por

Carlos Antunis Bonfim da Silva Santos

​

A Banca Examinadora composta pelos professores Alcenísio José de Jesus Silva, como

presidente da banca examinadora e orientador, do Instituto de Física da Universidade Federal
de Alagoas; Eduardo Jorge da Silva Fonseca, do Instituto de Física da Universidade Federal de
Alagoas e Jonathas Matias de Oliveira, do Instituto Federal de Alagoas, consideram o
candidato aprovado.

Maceió, 08 de maio de 2026.

Prof. Dr. Alcenísio José de Jesus Silva

Prof. Dr. Eduardo Jorge da Silva Fonseca

Prof. Dr. Jonathas Matias de Oliveira

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária: Girlaine da Silva Santos – CRB-4 – 1127
S237p

Santos, Carlos Antunis Bonfim da Silva.
Processamento em chip fotônico de um bit de informação quântica
codificada em fótons torcidos / Carlos Antunis Bonfim da Silva Santos. – 2026.
70 f.: il.
Orientador: Alcenísio José de Jesus Silva.
Dissertação (Mestrado em Física da Matéria Condensada) - Universidade
Federal de Alagoas, Instituto de Física. Maceió, 2026.
Bibliografia: f. 44 - 47.
Apêndices: f. 48 - 53.
Anexos: f. 54 -70.
1. Teoria quântica. 2. Computação quântica. 3. Portas lógicas quânticas. 4.
Momento angular orbital. I. Título.
CDU: 530.145

Dedico,
Ao meu "pai véio", Antônio Cândido,
in memoriam.

AGRADECIMENTOS
Gostaria de primeiramente agradecer a Deus principalmente pelo dom
da vida, mas também pela capacidade de raciocinar que me permitiu alçar
voos profundos em direção aos mais belos e ímpares conhecimentos que
hoje possuo.
Gostaria de agradecer também aos meus familiares por sempre me
apoiarem e servirem em muitos casos como grandes exemplos para mim, e
em especial aos meus amados pais Carlos Alberto dos Santos e Ilvaneide
Bonfim da Silva, pela sua educação, amor e sabedoria que construíram-me
a pessoa que hoje sou, sendo aqueles a quem eu devo a minha vida, meu
profundo amor e a minha gratidão.
Meu agradecimento e amor se prolonga também à minha amada
esposa Joana Mércia Guimarães Lira Silva, pelo seu apoio incondicional
mesmo nos dias em que eu não sou uma boa companhia, pela sua presença
que ilumina meus dias e por seu lindo sorriso que aquece meu coração e me
motiva a seguir nos momentos mais difíceis.
Aos meus queridos amigos, quero também deixar meus agradecimentos. Adelmo Damião dos Santos Júnior, Alex Rodrigues da Silva, Ismael
Felipe Ferreira dos Santos e Samila Ferraz de Oliveira pela amizade profunda que se renova a cada dia. Izaque José da Silva Melo, José Gilson de
Melo Nascimento Neto pela amizade e por suportarem minhas discussões
desconexas ao laboratório enquanto alinham os aparatos experimentais.
Jhonatas Philipe Gomes de Almeida e Messias Zacarias Santos de Lima
pela amizade que tem sido aprofundada ao longo do tempo. Katiele Valéria Pereira Brito e a minha amada Joana Mércia Guimarães Lira Silva,
por não me expulsarem, ainda, da sala 7 mesmo comigo as atrapalhando
recorrentemente. Hentony Viery da Silva Souza, Mateus da Silva, Ronald
Santos Cavalcante e Tiago Alves de Morais pela amizade que ainda tem por
mim. A Jefferson da Rocha Silva e Jennifer Nathieli da Silva Rotandaro de
Oliveira por, além da profunda amizade que desenvolvemos, me guiarem ao
longo do curso quase que como um pai e uma mãe.
Aos servidores e professores do Instituto de Física (IF) da Universidade Federal de Alagoas (UFAL), excetuando-se alguns que em nada
representam o papel de professor, meu muito obrigado por seu trabalho
vital. Ao Professor Dr. Francisco Anacleto Barros Fidelis de Moura por me
introduzir à física segundo a abordagem computacional e pela sua amizade.
Ao Professor Dr. Alcenísio José de Jesus Silva pelo seu auxílio em fornecer
bases que me possibilitaram compreender a óptica como hoje a compreendo
e pela motivação à imergir na área de tecnologias quânticas. Ao Professor

Dr. Eduardo Jorge da Silva Fonseca por me introduzir ao processamento
quântico de informação por intermédio de aparatos da óptica. Ao Professor
Dr. Jonathas Matias de Oliveira pelo atenção e auxílio no alinhamento
da teoria à dispositivos realizáveis na micro fabricação. Ao Professor Dr.
Wagner Ferreira da Silva pelas suas incríveis aulas que mesmo sendo exclusivamente sobre métodos matemáticos me deram a base para compreender
a beleza da teoria quântica. Ao Professor Dr. Guilherme Martins Alves
de Almeida por sua amizade, bem como importantes colocações que me
ensinaram, em minha primeira iniciação, o que significa trabalhar com
ciência e por fim por aprofundar meus conhecimentos em quântica em suas
aulas da pós-graduação. Ao Professor Dr. Paulo Cesar Aguiar Brandão
Filho por me introduzir à óptica quântica. Ao Professor Dr. Iram Marcelo
Gléria por consolidar, a mim, a relação entre álgebra linear e equações
diferenciais.
Ao grupo de Óptica e Nanoscopia (GON) gostaria de agradecer pela
oportunidade ímpar de experienciar a física de uma maneira que nunca antes
pensei que comporia minha carreira acadêmica: a experimental. Graças
a essa incrível oportunidade pude crescer como pesquisador e alcançar
visualizações da natureza que antes estavam apenas no âmbito da abstração,
bem como alinhar tais abstrações com a linguagem da experimentação,
admito que ainda preciso melhorar muito estes aspectos contudo, sem essa
oportunidade, não seria capaz de compreender a física como hoje entendo.
Por fim, gostaria de agradecer também pelo entusiasmo dos professores com
a pesquisa apresentada nesta dissertação, entusiasmo esse, que permitiu o
seu desenvolvimento ao estágio que hoje se encontra.
Meu avô, foi um homem simples, pescador, pedreiro, marceneiro,
e tudo mais que a vida o requisitou. Mesmo não podendo aproveitar
plenamente de sua companhia em vida, tenho a ele muita admiração agradecimentos não bastariam. Dessa maneira, gostaria de finalizar meus
agradecimentos dedicando todo este trabalho como uma homenagem in
memoriam a meu avô Antônio Cândido, que para mim será lembrado como
meu "pai véio" enquanto consciência eu tiver.

"The predictions of quantum mechanics . . . were rather counterintuitive.
People wanted to see these in a concrete way in the laboratory."
Manuel Erhard, Robert Ficker, Mario Krenn e Anton Zeillinger.
Twisted Photons: New Quantum Perspectives in High
Dimensions

RESUMO
Tecnologias quânticas prometem profundas quebras de paradigma no pensamento algorítmico, segurança de informação e metrologia de alta precisão.
Nos anos recentes, fotônica quântica tem sido explorada extensivamente
como uma plataforma confiável e robusta na direção destas tecnologias
emergentes. Fótons torcidos, fótons portadores de momento angular orbital
(MAO), têm sido explorados como uma plataforma de alta-dimensionalidade
para codificar informação quântica, contudo, lidar com seus estados quânticos ainda é predominantemente dependente em aparatos de óptica de
bancada. O presente trabalho demonstra como assimetrias azimutais podem
ser projetadas como uma maneira de manipular fótons torcidos num chip
fotônico. Em nossos resultados, nos ativemos principalmente à manipulação
de estados quânticos a partir de modos laguerre-gaussianos (LG) com carga
topológica m = ±1, onde demonstramos rotações de Pauli sobre a esfera de
Poincaré, bem como algumas portas lógicas quânticas (QLGs) básicas.
Palavras-Chave: Processamento de informação quântica. Fótons torcidos.
Portas lógicas quânticas de um qubit.

ABSTRACT
Quantum technologies promise profound breakthroughs in algorithmic
thinking, information security and high-precision metrology. In recent
years, quantum photonics has been extensively explored as a robust and
reliable platform towards these emerging technologies. Twisted-photons,
photons carrying orbital angular momenta (MAO), have been explored
as a high-dimensional platform to encode quantum information, although,
handling their quantum states is still reliant predominantly on bulk optical
apparatus. The present work demonstrates how azimuthal asymmetries
could be engineered as a manner to manipulate twisted-photons on a
photonic chip. In our results, we were mainly attained on the manipulation
of quantum states spanned by Laguerre-Gaussian modes with topological
charge m = ±1 where we demonstrate Pauli rotations over the Poincare
sphere, as well as some basic quantum logic gates (QLGs).
Keywords: Quantum information processing. Twisted photons. Singlequbit quantum logic gates.

LISTA DE FIGURAS
1

2

3

4

5

Ilustração do modelo teórico de uma máquina de computação
desenvolvido por Alan Turing, sendo esta capaz de ler e
processar informação. Tal máquina é caracterizada por um
conjunto finito de símbolos de entrada inseridos numa fita,
processados por um sistema finito de estados que segue uma
programação, denominada função de transição. . . . . . . .
Representação de um bit quântico sobre a esfera de estados.
Destacam-se a base computacional, |0⟩ e |1⟩, respectivamente
no polo norte e sul, ademais a um estado quântico arbitrário
|ψ⟩ em superposição representado num ponto da superfície
da esfera com ângulos polar θ e azimutal φ. . . . . . . . .
Exemplos de portas lógicas quânticas, da esquerda para a
direita constam nome, representação comum em circuitos
quânticos, sua forma matricial que tabula, a cada coluna,
as coordenadas dos vetores de estado da base computacional transformados. De cima para baixo, estão expostas o
operador Haddamard e as portas Pauli X,Y e Z. . . . . . .
Ilustração da porta lógica quântica Haddamard
H atuando
√
sobre um estado de entrada (|0⟩ + |1⟩) / 2 operada com
rotações sobre a esfera de estados quânticos. A operação
consiste em uma rotação de θ = π/2 ao redor do eixo y,
seguida de uma rotação de θ = π ao redor do eixo x, que
é representado por uma reflexão com respeito ao plano xy,
levando a um estado de saída de |0⟩. . . . . . . . . . . . .
Ilustração do espectro de comprimentos de onda e frequências
da luz, que se divide em três principais subdivisões: a luz
ultravioleta (UV - 10 nm a 390 nm), a luz visível (390 nm a
760 nm) e o infravermelho (IR - 760 nm a 300 µm). A luz
IR compreende as bandas do infravermelho próximo (NIR),
infravermelho médio (NIR) e infravermelho distante (FIR).
A luz UV, por sua vez, abrange as bandas do ultravioleta
próximo (NUV), ultravioleta médio (MUV), o ultravioleta
distante (FUV) e ultravioleta extremo (EUV). . . . . . . .

19

21

23

23

26

6

7

8

9

10

11

Perfis transversais de intensidade e fase dos modos LGpm para
distintas cargas topológicas, m = −2, −1, 0, +1, +2 respectivamente, e ordem radial p = 0. O perfil apresenta a fase
onde a intensidade é no mínimo 30% da intensidade máxima.
Pode-se observar o perfil de fase variando de −πm a +πm
azimutalmente ao longo do anel de intensidade máxima, conferindo a tais modos um momento angular orbital intrínseco
de mℏ por fóton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Perfis transversais de intensidade e fase dos modos HGm,n ,
para m = 2, 1, 0, 0, 0 e n = 0, 0, 0, 1, 2 respectivamente. O
perfil apresenta a fase onde a intensidade é no mínimo 30%
da intensidade máxima. Pode-se observar o perfil de fase
variando de −π a +π entre os lóbulos de intensidade máxima. 27
Representação da analogia entre estados de bits quânticos e
de luz estruturada de primeira ordem sobre a esfera de estados
quânticos de um qubit, a esquerda, e a esfera de Poincaré de
modos transversais, a direita. A esquerda, destacam-se os
estados de base computacional, |0⟩ e |1⟩, nos polos e, a direita,
destacam-se os modos laguerre-gauss, correspondentes a m =
−1 e +1, nos polos superior e inferior, respcetivamente, e os
modos hermite-gauss, correspondentes a m = 1, 0 e n = 0, 1,
e suas versões rotacionadas, dispostos ao longo do equador. 29
Ilustração do processo iterativo de estimativa numérica da
propagação da luz em um chip fotônico, onde a evolução
espacial é aplicada iterativamente, numa sequência de planos
equiespaçados por uma distância ∆z, para obter o perfil do
modo óptico em cada plano transversal ao eixo de propagação. 35
Visualização do modelo para um guia anular fabricado em
vidro (n0 = 1.5078), com um raio a de 4.4µm e uma largura w
de 2.0µm com um contraste de índice ∆n0 de 2.2×10−3 entre
o núcleo e a casca. O guia anular possui uma geometria de
anel circular, projetada para guiar a luz torcida. Apresentamse em (a) o perfil tridimensional do guia anular, e em (b) o
perfil transversal do guia anular no plano transversal z =
0µm, que corresponde ao perfil em qualquer outro plano
transverso no chip fotônico. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Visualização do perfil transversal de entrada dos modos LG
de carga m = ±1. O perfil apresenta a fase onde a intensidade
é no mínimo 30% da intensidade máxima. . . . . . . . . .
39

12

13

14

15

16

17

Visualização da evolução de potência dos modos laguerregaussianos m = ±1 no guia anular. Apresentam-se em (a)
e (b) as evoluções de potência para perfis de entrada com
cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até
uma distância de 5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Visualização do modelo para um guia anular com perturbação
do tipo Pauli-X fabricado em vidro (n0 = 1.5078), com um
guia anular de raio de 4.4µm e uma largura de 2.0µm com
um contraste de índice de 2.2 × 10−3 entre o núcleo e a casca
e um par de alterações gaussianas diametralmente opostas, a
4.4µm da origem com um contraste de índice de 1.1 × 10−3 .
Apresentam-se em (a) o perfil tridimensional, e em (b), (c) e
(d) os perfis transversais nos planos transversais z = 0.0µm,
z = 1.0mm e z = 5.0mm, respectivamente. . . . . . . . . .
41
Visualização do modelo para um guia anular com perturbação
do tipo Pauli-Y fabricado em vidro (n0 = 1.5078), com um
guia anular de raio de 4.4µm e uma largura de 2.0µm com
um contraste de índice de 2.2 × 10−3 entre o núcleo e a casca
e um par de alterações gaussianas diametralmente opostas, a
4.4µm da origem com um contraste de índice de 1.1 × 10−3 .
Apresentam-se em (a) o perfil tridimensional, e em (b), (c) e
(d) os perfis transversais nos planos transversais z = 0.0µm,
z = 1.0mm e z = 5.0mm, respectivamente. . . . . . . . . .
42
Visualização da evolução de potência dos modos laguerregaussianos m = ±1 no guia anular com perturbação do tipo
Pauli-X. Apresentam-se em (a) e (b) as evoluções de potência
para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e
m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm. . . .
43
Visualização da evolução de potência dos modos laguerregaussianos m = ±1 no guia anular com perturbação do tipo
Pauli-Y. Apresentam-se em (a) e (b) as evoluções de potência
para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e
m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm. . . .
43
Visualização do efeito da QLG Pauli-X, implementada com
uma fidelidade média de 0.9941, sobre os modos LG. Apresentamse em (a) a visualização dos perfis transversais de saída e em
(b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com
cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até
uma distância de 5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

18

19
20
21

22

23
24
25
26

27
28

Visualização do efeito da QLG Pauli-Y, implementada com
uma fidelidade média de 0.9936, sobre os modos LG. Apresentamse em (a) a visualização dos perfis transversais de saída e em
(b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com
cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até
uma distância de 5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-X.
47
Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-Y.
47
Visualização do efeito da QLG Pauli-Z, implementada com
uma fidelidade média de 0.9866, sobre os modos LG. Apresentamse em (a) a visualização dos perfis transversais de saída e em
(b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com
cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até
uma distância de 5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Visualização do efeito da QLG Haddamard, implementada
com uma fidelidade média de 0.9889, sobre os modos LG.
Apresentam-se em (a) a visualização dos perfis transversais
de saída e em (b) e (c) as evoluções de potência para perfis
de entrada com cargas topológicas m = −1 e m = +1,
respectivamente, até uma distância de 5mm. . . . . . . . .
50
Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-Z. .
51
Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Haddamard. 51
Representação gráfica dos polinômios de Hermite H0 (z) = 1,
H1 (z) = 2z, H2 (z) = 4z 2 − 2, H3 (z) = 8z 3 − 12z, H4 (z) =
16z 4 − 48z 2 + 12, definidos segundo a convenção física. . .
60
Representação gráfica dos polinômios associados de Laguerre,
(α)
(α)
L1 (z) = −z+α+1, L2 (z) = 12 (z 2 − 2(α + 2)z + (α + 1)(α + 2))
(α)
e L3 (z) = 16 (−z 3 − 3(α + 3)z 2 − 3(α + 2)(α + 3)z + (α + 1)(α + 2)(α + 3)
para α = 0, 1, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Representação gráfica, para ν = 0, 1, 2, 3, 4, das funções de
Bessel do primeiro tipo Jν (z). . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Representação gráfica, para ν = 0, 1, 2, 3, 4, das funções de
Bessel modificadas do primeiro tipo Iν (z) = ı−ν Jν (ız). . . .
62

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MAO

Momento angular orbital da luz

SLM

Modulador espacial de luz (do inglês spatial light modulator)

SPP

Placas de fase espirais (do inglês spiral phase plates)

PC

Chip fotônico (do inglês photonic chip)

QIP

Processamento quântico de informação (do inglês quantum information processing)

LG

Modo laguerre-gaussiano

QLG
Bit

Porta lógica quântica (do inglês, quantum logic gate)
Dígito binário (do inglês, binary digit)

QTM

Máquina de Turing quântica (do inglês quantum Turing machine)

Qubit

Bit quântico (do inglês quantum bit)

DOF

Grau de liberdade (do inglês degree of freedom)

QKD

Distribuição quântica de chaves (do inglês quantum key distribution)

SVEA

Aproximação do envelope lentamente variante (do inglês slow varying
envelope approximation)

HG
CMT

Modo hermite-gaussiano
Teoria de modos acoplados (do inglês coupled-mode Theory)

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO
1.1 Aspectos de teoria da informação quântica . . . . . . . . .
1.1.1 Bits quânticos e a esfera de estados . . . . . . . . .
1.1.2 Processamento de um bit quântico de informação .

17
18
20
22

2 MODELO E FORMALISMO
25
2.1 Modos estruturados de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.1.1 Quantização de modos e a esfera de Poincaré de
modos transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2 Propagação de fótons torcidos em chips fotônicos . . . . .
29
2.2.1 Teoria de modos acoplados por perturbações azimutais 30
3 METODOLOGIA
3.1 Estimativa da evolução espacial . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Fidelidade média de um processo quântico unitário . . . .

33
34
35

4 RESULTADOS OBTIDOS
4.1 Oscilações de modos sobre a esfera de Poincaré de modos
transversais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Implementações de portas lógicas quânticas . . . .

37

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

52

REFERÊNCIAS

53

APÊNDICES
A
FUNÇÕES ESPECIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1
Ondas planas e expansão em série de Fourier . . . .
A.2
Polinômios de Hermite e polinômios associados de
Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3
Funções de Bessel do primeiro tipo e sua versão modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
58
59

ANEXOS
A
CÓDIGO DESENVOLVIDO . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
DEMONSTRAÇÕES DE TEOREMAS . . . . . . . . . . .

63
64
74

37
43

60
61

1 INTRODUÇÃO

1

INTRODUÇÃO

Em decorrência do seu caráter eletromagnético, a luz é capaz de
transportar momento angular, o qual apresenta-se de duas distintas formas,
sendo uma a intrínseca, relacionada à polarizabilidade circular da luz,
e uma orbital, relacionada à configuração espacial do campo elétrico[1] .
Em 1992, Allen e seus colaboradores propuseram que modos ópticos que
apresentam um perfil helicoidal de frentes de onda, ou seja, uma fase
múltipla inteira da coordenada angular, mθ, em cada plano transverso
à propagação representam modos ópticos cujos fótons portam em média
mℏ de momento angular orbital (MAO)[2] , sendo tal número inteiro m
denominado carga topológica.
Devido à existência de ilimitados modos transversais ortogonais capazes de portar MAO, as cargas topológicas têm sido investigadas como
uma importante plataforma para a multiplexação de informações, de modo
a permitir uma transmissão de informação mais compacta[3–5] . Além disso,
esta inerente alta-dimensionalidade é igualmente apresentada no regime
quântico pelos chamados fótons torcidos, fótons que carregam quantidades
bem definidas de MAO, propiciando assim um importante fundamento às
emergentes tecnologias quânticas[6–11] . Ainda que alguns resultados presentes na literatura científica apontem integrações em chip relacionadas a
estados de luz torcida[12–16] , estas são mais voltadas à sua geração e preservação, de modo que a manipulação do estado quântico de fótons torcidos
ainda depende predominantemente de aparatos de óptica de bancada[9, 17, 18] ,
como moduladores espaciais de luz (SLMs, do inglês spatial light modulators)
e placas de fase espirais (SPPs, do inglês spiral phase plates).
O objetivo do presente trabalho foi demonstrar como estruturar
azimutalmente o índice de refração em um chip fotônico (PC, do inglês
photonic chip) pode permitir a miniaturização do processamento quântico
de informação (QIP, do inglês quantum information processing) incorporada
em fótons torcidos de maneira fidedigna. Nos ativemos, em particular,
ao subespaço de modos gerado pelos modos laguerre-gaussianos (LG),
abordados na Seção 2.1, com carga topológica m = ±1, por ser o sistema de
dois níveis com fótons torcidos mais natural a se tratar em guias de onda1 .
Para este subespaço, demonstramos a capacidade de processar estados
de luz torcida com alta fidelidade em chips fotônicos. Implementamos as
rotações sobre a esfera de Poincaré de modos transversais, estabelecendo
1

Os modos LG com carga topológica ±1 apresentam maior estabilidade comparado a ordens superiores
em dispositivos microfabricados.

17

1 INTRODUÇÃO

assim uma rota realizável na direção de implementações microfabricadas de
portas lógicas quânticas (QLGs, do inglês quantum logic gates) para um
único bit quântico.
No decorrer do presente capítulo, abordaremos ainda alguns aspectos
fundamentais teóricos da informação quântica, bem como suas aplicações
para as tecnologias da informação, a fim de dar contexto a respeito dos
fundamentos de informação quântica. Posteriormente, no Capítulo 2, iremos
nos aprofundar no referencial teórico acerca de luz torcida, introduzindo
a forma com a qual o presente trabalho propõe manipulá-la estruturando
inomogeneidades azimutais em chips fotônicos. No Capítulo 3 nos ateremos
aos métodos empregados na construção dos resultados numéricos obtidos
neste trabalho, os quais serão, por fim, apresentados no Capítulo 4.
1.1

Aspectos de teoria da informação quântica

A teoria da informação quântica investiga tarefas de processamento
de informação que podem ser cumpridas por intermédio de aspectos quânticos da natureza[19] , tal como objetivamos realizar por meio do presente
trabalho. Sendo esta, um ramo de interface entre as recentes teorias que
modelam máquinas computadoras modernas, descritas pelo matemático
Alan Turing[20] , e aspectos quânticos da natureza, introduzidas por físicos
como Max Planck, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger[21–23] e diversos
outros.
A abstrata máquina descrita por Turing, ilustrada na Figura 1, captura
completamente a essência do processo de computação, e junto à álgebra de
Boole[24] forneceu as bases da arquitetura moderna de máquinas capazes de
computar[25] baseada em sistemas de dois estados que permitem codificar
a informação em dígitos binários (bits, do inglês binary digits)[26] . Dada
a sua aparente completude, Turing, em colaboração com Alonzo Church,
conjecturou que todo processo algorítmico realizável num dispositivo físico
pode ser eficientemente computado por meio de seu modelo de computação,
conjectura conhecida como tese de Church-Turing.
Conjectura 1 (Tese de Church-Turing). Qualquer processo algorítmico pode ser simulado eficientemente por meio de uma máquina de
Turing.
Uma importante contraposição à esta conjectura ocorreu em 1977,
quando Robert Solovay e Volker Strassen propuseram um algoritmo capaz
de testar quando um inteiro é primo ou composto[28] , onde a aleatoriedade
18

1 INTRODUÇÃO
Figura 1: Ilustração do modelo teórico de uma máquina de computação desenvolvido por Alan
Turing, sendo esta capaz de ler e processar informação. Tal máquina é caracterizada por um
conjunto finito de símbolos de entrada inseridos numa fita, processados por um sistema finito de
estados que segue uma programação, denominada função de transição.

Fonte: Modificada de J. E. Hopcroft, R. Motwani, e J. D. Ullman [27] pelo autor, 2026.

é parte fundamental da computação, isto é, o algoritmo não determina
com certeza a primalidade de um número. A vantagem em comparação a
quaisquer outros processos algorítmicos determinísticos apresentada por
alguns algoritmos probabilísticos[29] , ilustra que máquinas de Turing que
se beneficiam de aleatoriedade podem resolver problemas de maneira mais
eficiente que suas versões puramente determinísticas.
Em 1985, David Deutsch investigou até que nível a complexidade
de processos algorítmicos podem ser reduzidas[30] . Deutsch notou que as
leis físicas poderiam amplamente ser empregadas para tal fim, contudo,
uma vez que apresentam-se quânticas em essência, máquinas careceriam
da compreensão de tal aspecto da natureza para serem verdadeiramente
capazes de tratar quaisquer processos algorítmicos impelindo-o assim a
conjecturar que apenas máquinas de Turing quânticas (QTMs, do inglês
quantum Turing machines) seriam, em tese, capazes de processar de maneira
eficiente quaisquer processos[30] .
Conjectura 2 (Tese de Church-Turing-Deutsch). Qualquer processo
algorítmico pode ser simulado eficientemente por meio de uma máquina
de Turing quântica .
A verificação da modificação da tese de Church-Turing feita por
Deutsch, no entanto, ainda representa um importante problema científico e
tecnológico em aberto à teoria da informação quântica, dado que o conheci19

1 INTRODUÇÃO

mento humano acerca dos fenômenos da natureza é extremamente limitado
à sua capacidade de experimentação e pode ser ultrapassado celeremente
por pesquisas na fronteira da física. Assim demonstrando a necessidade
de descrever formalmente o funcionamento das máquinas propostas por
Deutsch, de modo que abarque rigorosamente a sua capacidade de armazenar e processar informação levando em conta os aspectos quânticos da
natureza, rigor este que é introduzido pelos postulados fundamentais da
teoria quântica.
1.1.1

Bits quânticos e a esfera de estados

A premissa fundamental a ser feita quanto a uma QTM reside em
seus estados de máquina. O processamento quântico de informação exige,
obrigatoriamente, a sua codificação em uma plataforma física, como no
momento angular carregado por um fóton no caso do presente trabalho.
Nesse sentido, os estados de processamento de uma máquina quântica têm
de corresponder a estados, tais quais os definidos no primeiro postulado
da teoria quântica[19, 31] que estabelece o formalismo matemático capaz de
expressar o conceito de informação quântica.
Postulado 1. Associado a qualquer sistema físico isolado existe um vetor
de estado, elemento de um espaço vetorial complexo dotado de produto
interno, cuja norma é a unidade, que permite descrevê-lo completamente
em um dado tempo.
Para sistemas quânticos cujo alfabeto de estados é binário, ou seja,
possuem apenas dois estados acessíveis2 , denominamos o estado de processamento de uma QTM por bit quântico (qubit, do inglês quantum bits),
dada a sua analogia aos bits clássicos[19, 32, 33] .
Definição 1 (Bit quântico). Um bit quântico consiste num estado de
uma máquina de Turing quântica em que dois estados independentes são
acessíveis, representando à máquina os valores binários 0 e 1.
As características quânticas inerentes aos qubits permitem a uma QTM
acessar estados de máquina inacessíveis aos seus análogos clássicos, conferindo assim a estes ganho de performance em certas tarefas. Estados
esses que correspondem a interferências entre os dois estados independentes
2

Da mesma maneira que no presente trabalho onde um fóton pode ser caracterizado com carga
topológica m = ±1.

20

1 INTRODUÇÃO
Figura 2: Representação de um bit quântico sobre a esfera de estados. Destacam-se a base
computacional, |0⟩ e |1⟩, respectivamente no polo norte e sul, ademais a um estado quântico
arbitrário |ψ⟩ em superposição representado num ponto da superfície da esfera com ângulos polar
θ e azimutal φ.

Fonte: M. A. Nielsen e I. L. Chuang [19], 2000.

denotados por |0⟩ e |1⟩, denominados base computacional, ou seja,
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩,

(1)

onde as coordenadas α, β são números complexos que representam a similitude do estado quântico a cada estado da base computacional, cujos
quadrados dos valores absolutos, |α|2 e |β|2 , correspondem a probabilidades
de o estado ser detectado em seu respectivo estado da base computacional,
|0⟩ e |1⟩, de maneira que |α|2 + |β|2 = 1, restrição que corresponde à
normalização do estado quântico[19, 32, 33] .
Complementarmente, como estados quânticos que diferem apenas
por uma fase global Γ são fisicamente equivalentes, um qubit pode ser
parametrizado utilizando coordenadas angulares
|ψ⟩ = e

ıΓ

θ
θ
θ
θ
cos |0⟩ + sin eıφ |1⟩ ≡ cos |0⟩ + sin eıφ |1⟩ ,
2
2
2
2
!

(2)

tal representação permite ilustrar um qubit como um vetor abstrato sobre a
superfície de uma esfera como ilustrado na Figura 2, onde θ e φ consistem
nos ângulos polar e azimutal em que o estado se localiza sobre a esfera de
estados[19, 32, 33] . Deve-se destacar que os ângulos apresentados na Equação 2 apenas servem como parâmetros abstratos na esfera de estados, não
21

1 INTRODUÇÃO

representando, a priori, propriedades geométricas intrínsecas do sistema
quântico.
1.1.2

Processamento de um bit quântico de informação

Outra importante consideração a ser feita, em especial ao presente
trabalho, a respeito da QTM é quanto à forma com a qual ela efetua o
seu processamento. O processamento quântico de informação efetivamente
consiste, analogamente à computação clássica, em alterar o estado de uma
QTM. Nessa linha de raciocínio, devemos impor que o processamento ocorra
também segundo os postulados da mecânica quântica, conforme descrito
pelo segundo postulado da teoria quântica[19] .
Postulado 2. A evolução do vetor de estado de um sistema quântico
fechado é completamente caracterizada por um operador linear unitário.
Isto é, sob as restrições impostas, um processo quântico altera um vetor
de estado |ψ⟩ por um operador unitário U, de modo que este se torna
|ψ ′ ⟩ = U |ψ⟩.
É digno de destaque que tal postulado é válido apenas no contexto de
sistemas quânticos fechados, como modelaremos no presente trabalho. Ao
se levar em conta efeitos de acoplamentos com o ambiente, tal qual é
experimentado fisicamente em decorrência de imperfeições na fabricação
e outros, a dinâmica de um fóton em um guia de onda apresenta-se de
maneira extremamente diversa[13, 34] , introduzindo erros ao processamento
efetivo de informação de modo a afetar a pureza do bit quântico[13, 19, 33] .
Para um único qubit, aplicar uma QLG, como as exemplificadas na
Figura 3, a um estado quântico, que corresponde a processar a informação,
modifica sua similitude a cada estado da base canônica, ou seja,
|Ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩ 7→ U |Ψ⟩ = η |0⟩ + ζ |1⟩ .

(3)

Devido ao operador U ser unitário, a normalização do estado quântico
|η|2 + |ζ|2 = 1 se mantém[19, 32, 33] . Pode-se visualizar com mais clareza o
efeito das QLGs, ao se considerar a representação angular dos qubits, dado
que na sua operação os ângulos são alterados,
θ
θ
γ
γ
|Ψ⟩ = cos |0⟩ + sin eıφ |1⟩ 7→ U |Ψ⟩ = cos |0⟩ + sin eıξ |1⟩ ,
2
2
2
2

(4)

assim ilustrando que estas consistem em uma forma abstrata de rotação
sobre a esfera de estados.
22

1 INTRODUÇÃO
Figura 3: Exemplos de portas lógicas quânticas, da esquerda para a direita constam nome,
representação comum em circuitos quânticos, sua forma matricial que tabula, a cada coluna, as
coordenadas dos vetores de estado da base computacional transformados. De cima para baixo,
estão expostas o operador Haddamard e as portas Pauli X,Y e Z.

Fonte: Modificada de P. Lambropoulos e D. Petrosyan [33] pelo autor, 2026.

Figura 4: Ilustração
da porta lógica quântica Haddamard H atuando sobre um estado de entrada
√
(|0⟩ + |1⟩) / 2 operada com rotações sobre a esfera de estados quânticos. A operação consiste
em uma rotação de θ = π/2 ao redor do eixo y, seguida de uma rotação de θ = π ao redor do
eixo x, que é representado por uma reflexão com respeito ao plano xy, levando a um estado de
saída de |0⟩.

Fonte: M. A. Nielsen e I. L. Chuang [19], 2000.

Dado que toda alteração possível de um qubit corresponde a uma
espécie abstrata de rotação sobre a esfera de estados quânticos, adota-se
a assunção que qualquer processo quântico pode ser decomposto como
uma composição de rotações geradas pelos operadores X e Y de Pauli[19] ,
como exemplificado na Figura 4, tal como verdadeiras rotações. Essa
23

1 INTRODUÇÃO

decomposição é a base para o design de chips fotônicos que codificam QLGs
mais robustas utilizando a estruturação azimutal como gerador físico do
processamento.
Definição 2 (Operador unitário de rotação). Seja U um operador
unitário tal que U2 = I, onde I é a operação identidade que mantém o
estado da mesma forma, definimos o operador
Ru (θ) = exp (−ıUθ/2) = cos (θ/2) I − ı sin (θ/2) U,

(5)

como operador unitário de rotação gerado por U.
Conjectura 3. Toda operação unitária U atuando sobre um único
qubit pode ser expressa como a composição de rotações geradas pelos
operadores de Pauli, X e Y, ou seja,
U = Rx (α)Ry (β)Rx (γ),

(6)

onde α, β e γ são números reais que atuam como parâmetros da
representação do operador.
É importante salientar que, não apenas uma revolução científica
nas bases da teoria da computação e uma profunda quebra de paradigma
no pensamento algorítmico[35–41] , a teoria da informação quântica é uma
proeminente plataforma para novos desenvolvimentos tecnológicos não
somente para QIP e, nesse contexto, é vital compreender como explorar
os diferentes graus de liberdade (DOFs, do inglês degree of freedom) da
luz. No âmbito da metrologia, a utilização da natureza quântica da luz
confere alta resolução à medidas obtidas[42] . Paralelamente, na segurança
de informação, a distribuição de chaves criptográficas utilizando as regras
do regime quântico (QKD, do inglês quantum key distribution)[6, 7, 10, 43]
prometem protocolos robustos a tentativas de espionagem.

24

2 MODELO E FORMALISMO

2

MODELO E FORMALISMO

No capítulo anterior introduzimos alguns aspectos da proposta feita
por Deutsch para aprimorar as máquinas propostas por Turing, ao permitir
que estas operem com as vantagens computacionais do regime quântico, no
entanto, a sua realização exige uma plataforma física capaz de codificar e
manipular estados quânticos de maneira estável. A óptica, por ser o ramo
da física que se atém em compreender os fenômenos luminosos na natureza
fornece um arcabouço teórico, experimental e tecnológico robusto e com
fundamentos sólidos para tal finalidade[1, 44] .
Ainda que, fundamentalmente, a óptica se baseie na teoria eletromagnética, esta pode ser abordada segundo uma variedade de modelos e
formalismos[1, 44] , para o presente trabalho, a modelagem tem de ser capaz
de compreender a natureza ondulatória dos fenômenos ópticos no interior
de um chip fotônico, bem como as condições de sua experimentação, de
maneira que algumas assunções devem ser feitas permitindo simplificações na teoria. Primeiramente abstrairemos da luz a sua característica
vetorial, eliminando assim seu momento angular de spin, adotando que
esta é linearmente polarizada[1, 44] . Ademais, ainda que fisicamente a luz
possa assumir diversos comprimentos de onda dentro do espectro eletromagnético, ilustrado na Figura 5, tomaremos por pressuposto que este é
bem definido, λ = 780nm, dado que a fonte de luz utilizada experimentalmente é comumente um Laser, que é temporalmente coerente[44] . Por
fim, em nossa modelagem adotaremos também a aproximação do envelope
lentamente variante (SVEA, do inglês slow varying envelope approximation)[44, 45] , onde a envoltória do campo eletromagnético não sofre variações
abruptas na escala do comprimento de onda, de modo que o estado da
luz pode ser caracterizado completamente segundo a Equação paraxial de
Helmholtz[44, 45] ,
λ̄2 ∇2⊥
ıλ̄ψ̇(r⊥ , z) = −
+ ∆n(r⊥ , z) ψ(r⊥ , z),
2n0




(7)

onde ∗˙ corresponde à derivada na direção de propagação, doravante adotada
como o eixo das cotas z, ψ(r⊥ , z) corresponde a um campo que codifica a
amplitude da onda de luz em cada ponto do espaço, (r⊥ , z), a constante λ̄
corresponde ao comprimento de onda reduzido, λ/2π onde λ é o comprimento de onda da luz, ∆n consiste na variação do índice de refração num
dado ponto do espaço, ∇2⊥ corresponde ao operador diferencial laplaciano no
plano transverso à propagação que promove a difração dos feixes ao longo
da propagação e n0 consiste no índice de refração base do material[44, 45] .
25

2 MODELO E FORMALISMO
Figura 5: Ilustração do espectro de comprimentos de onda e frequências da luz, que se divide
em três principais subdivisões: a luz ultravioleta (UV - 10 nm a 390 nm), a luz visível (390
nm a 760 nm) e o infravermelho (IR - 760 nm a 300 µm). A luz IR compreende as bandas do
infravermelho próximo (NIR), infravermelho médio (NIR) e infravermelho distante (FIR). A luz
UV, por sua vez, abrange as bandas do ultravioleta próximo (NUV), ultravioleta médio (MUV),
o ultravioleta distante (FUV) e ultravioleta extremo (EUV).

Fonte: B. Saleh e C. Teich [44], 2007.

2.1

Modos estruturados de luz

Sendo uma equação diferencial parcial linear, para solucionar a Equação paraxial de Helmholtz, é necessário e suficiente introduzir uma base completa de funções de modo a definir um espaço linear de soluções[1] . No presente trabalho, adotaremos como tal base ortonormal canônica de soluções,
os modos laguerre-gaussianos3 , que apresentam estrutura helicoidal de frente
de onda,conferindo-lhes um MAO intrínseco[2, 44] , cujo perfil transversal
será doravante ilustrado segundo o padrão da Figura 6.
Definição 3 (modos laguerre-gaussianos).
v
 √ |m|


2
u
2
u
− r 2 ımθ
2p!
2r
2r
p
|m|
w
t




LGm (r⊥ ) =
Lp
e 0e ,
π(p + |m|)!w02 w0
w02

(8)

Para além dos modos LG, outra importante base ortonormal de modos
3

Consulte o Apêndice A, para mais detalhes quanto aos polinômios de Laguerre e as ondas planas.

26

2 MODELO E FORMALISMO
Figura 6: Perfis transversais de intensidade e fase dos modos LGpm para distintas cargas topológicas, m = −2, −1, 0, +1, +2 respectivamente, e ordem radial p = 0. O perfil apresenta a fase
onde a intensidade é no mínimo 30% da intensidade máxima. Pode-se observar o perfil de fase
variando de −πm a +πm azimutalmente ao longo do anel de intensidade máxima, conferindo a
tais modos um momento angular orbital intrínseco de mℏ por fóton.

Fonte: Autor, 2026.

estruturados de luz são os modos hermite-gaussianos4 (HG), ilustrados
na Figura 7, que para o presente trabalho representará os estados com
superposição máxima de modos LG com cargas opostas, dado que nos
focaremos no subespaço de modos com carga topológica m = ±1, e ordem
radial p = 0[44] .
Definição 4 (modos hermite-gaussianos).
v
√

√

2
2
u
− x +y
u
2
2x
2y
w2
t




Hn
e 0 ,
HGm,n (r⊥ ) =
Hm
2m+n πm!n!w02
w0
w0

(9)

Figura 7: Perfis transversais de intensidade e fase dos modos HGm,n , para m = 2, 1, 0, 0, 0 e
n = 0, 0, 0, 1, 2 respectivamente. O perfil apresenta a fase onde a intensidade é no mínimo 30%
da intensidade máxima. Pode-se observar o perfil de fase variando de −π a +π entre os lóbulos
de intensidade máxima.

Fonte: Autor, 2026.

Tais modos são nomeados comumente como modos estruturados
de luz, pois apresentam uma estrutura no perfil transversal do campo
eletromagnético. Em particular, os modos LG apresentam uma estrutura
4

Consulte o Apêndice A, para mais detalhes quanto aos polinômios de Hermite.

27

2 MODELO E FORMALISMO

azimutal do tipo exp(ımθ), tornando-os autofunções do operador de MAO,
L̂z = ı∂θ , cujo autovalor é sua carga topológica m conferindo-lhes um
momento angular orbital bem definido de mℏ por fóton[2, 44] . Embora a
natureza ilimitada da carga topológica ofereça um vasto potencial para a
implementação de qudits em sua alta dimensionalidade[6, 18] , no presente
trabalho iremos focar ao subespaço gerado apenas pelos modos de carga
topológica m = ±1, onde estão definidos os modos com MAO bem definido
LGp=0
±1 (r⊥ ) =

v
u
u1
t

v
u

r
2r − x w+y2 ±ıθ u
t 1  2(x ± ıy)  − w02
0
e =
e ,
e
π w02
π
w02

!

2

2





2

(10)

bem como os modos com indeterminação máxima de carga topológica ±1,
dados pelos modos HG de ordem m = 1, n = 0 e m = 0, n = 1,
v  √

2
2
u

u 1 2 2x
− x +y
1  p=0
p=0
t 
w2

0
√
HG1,0 (r⊥ ) =
e
=
LG
(r
)
+
LG
(r
)
⊥
⊥ , (11)
−1
+1
π
w02
2
v  √

2
2
u

u 1 2 2y
− x +y
ı  p=0
p=0
t 
w2

0
√
=
LG
(r
)
−
LG
(r
)
HG0,1 (r⊥ ) =
e
⊥
⊥ , (12)
−1
+1
π
w02
2
e suas versões rotacionadas no plano transverso.
2.1.1

Quantização de modos e a esfera de Poincaré de modos transversais

Ainda que tenhamos fundamentado os modos estruturados de luz
a partir da solução da Equação paraxial de Helmholtz, a luz apresenta
uma natureza quântica[33] , onde o campo eletromagnético pode ser abordado segundo excitações fundamentais de modos LG, denominados fótons
torcidos[6] . A quantização de modos estruturados de luz, se dá analogamente à quantização na base de ondas planas[33] , é efetuada ao promover
as amplitudes da expansão modal a operadores quânticos de aniquilação,
ou seja,
X
X
aℓ (z)LGp=0
âℓ (z)LGp=0
(13)
ℓ (r⊥ ) →
ℓ (r⊥ ).
ℓ

ℓ

Dado que, no presente trabalho, iremos nos restringir ao subespaço de
modos com carga topológica m = ±1, iremos adotar como estados da
†
†
base computacional, respectivamente, |0⟩ = â−
|vac⟩ e |1⟩ = â+
|vac⟩,
correspondentes a excitações de fótons portando −ℏ e +ℏ de MAO, com as
suas superposições sendo equivalentes à estrutura do modo clássico, como
expresso no Teorema 1.

28

2 MODELO E FORMALISMO

Teorema 1. No regime paraxial, o operador de criação âψ† associado a
†
um modo clássico ψ se relaciona aos operadores de criação â±
de fótons
torcidos com MAO m = ±ℏ por
p=0
†
†
âψ† = ⟨LGp=0
−1 , ψ⟩â− + ⟨LG+1 , ψ⟩â+ .

(14)

Tal formulação permite definir uma esfera de estados, denominada esfera
de Poincaré de modos transversais, isomorfa à esfera de estados quânticos
de um qubit[19, 46] , tal qual ilustrado na Figura 8.
Figura 8: Representação da analogia entre estados de bits quânticos e de luz estruturada de
primeira ordem sobre a esfera de estados quânticos de um qubit, a esquerda, e a esfera de Poincaré
de modos transversais, a direita. A esquerda, destacam-se os estados de base computacional, |0⟩
e |1⟩, nos polos e, a direita, destacam-se os modos laguerre-gauss, correspondentes a m = −1 e
+1, nos polos superior e inferior, respcetivamente, e os modos hermite-gauss, correspondentes a
m = 1, 0 e n = 0, 1, e suas versões rotacionadas, dispostos ao longo do equador.

Fonte: Autor, 2016.

2.2

Propagação de fótons torcidos em chips fotônicos

Os modos estruturados de luz e suas excitações fundamentais no
âmbito quântico, os fótons torcidos, apresentam um vasto potencial de
aplicação à informação quântica, porém manipular corretamente tais estados
de luz requer um controle preciso sobre a estrutura do perfil transversal
da luz[6, 18] . No entanto, dado que, como citado anteriormente, os modos
LG têm sua fase estruturada azimutalmente, a introdução de perturbações
no índice de refração engenheiradas azimutalmente permite a insersão de
uma fonte ou sorvedouro de MAO, ao induzir sobre a luz um torque óptico,
29

2 MODELO E FORMALISMO

possibilitando a manipulação dos modos de luz que portam MAO, como
apresentado no Teorema 2.
Sejam τ = ıψ∂ϕ ψ e Jτ (r⊥ , z) = 2nλ̄0



∂
∂
ψ∇⊥ ∂θ
ψ − ∂θ
ψ∇⊥ ψ



Teorema 2.
as densidades de carga e corrente de torção do modo óptico, respectiva∂
mente, bem como T(r⊥ , z) = λ̄1 ∂θ
∆n a fonte de torção do modo óptico
τ̇ (r⊥ , z) + div⊥ Jτ (r⊥ , z) = T(r⊥ , z)ρ(r⊥ , z),

(15)

Ainda que o Teorema 2 ateste a possibilidade de manipular o MAO de
um modo óptico por meio de perturbações azimutais no índice de refração
em chips fotônicos, este não introduz a maneira com a qual estas devem ser
microfabricadas. Para isso, no presente trabalho, aplicaremos à Equação
paraxial de Helmholtz uma abordagem de teoria de modos acoplados (CMT,
do inglês coupled-mode theory)[47, 48] , modelando assim a interação efetiva
introduzida entre modos pelas estruturas microfabricadas no interior do
chip fotônico, sendo aplicada extensivamente na descrição da evolução ao
longo de guias de onda[49–53] .
2.2.1

Teoria de modos acoplados por perturbações azimutais

Para a construção de um formalismo de teoria de modos acoplados, é
necessário primeiramente introduzir uma base de funções, neste trabalho,
adotada como a base dos modos LG de carga topológica m = ±1, assim
sendo, qualquer modo óptico em qualquer plano transverso no guia será
uma superposição linear de tais modos, ou seja,
p=0
ψ(r⊥ , z) = a+1 (z)LGp=0
+1 (r⊥ ) + a−1 (z)LG−1 (r⊥ ),

(16)

onde a± (z) são as amplitudes modais dos modos LG com cargas topológicas
±1 num dado plano com z fixo. Ao substituir nosso ansatze modal nos
termos da Equação paraxial de Helmholtz, a aplicando o produto interno
p=0
com os modos LG de carga m′ = ±1 e observando que ⟨LGp=0
m′ , LGm ⟩ =
δm′ ,m , obtemos,
2 2
p=0  λ̄ ∇⊥
′
ıλ̄ȧm (z) = LGm′ , −
+ ∆n LGp=0
a−1 (z)+
−1
2n0


*
+
2 2
λ̄
∇
p=0 
p=0
⊥
LGm′ , −
+ ∆n LG+1 a+1 (z),
2n0
*





30

+

(17)

2 MODELO E FORMALISMO
2

2

λ̄ ∇⊥
p=0
onde os coeficientes ⟨LGp=0
m , [− 2n0 + ∆n]LGm′ ⟩, denominados elementos
da matriz de acoplamento, correspondem à intensidade de acoplamento
entre os modos LG de carga m = ±1 introduzido por perturbações azimutais
no índice de refração[47, 48] .
Para a computação dos elementos da matriz de acoplamento, notemos
que o termo de difração −λ̄2 ∇2⊥ /2n0 não acopla modos LG azimutalmente,
conferindo apenas uma mesma fase de caminho a estes, assim, como já
exposto no Teorema 2, o índice de refração é o único termo capaz de
introduzir acoplamento entre os modos LG de carga m = ±1. Dessa
maneira, notando que, pela estrutura azimutal dos modos LG ser análoga
às ondas planas na coordenada angular do plano transverso, θ, modulações
azimutais senoidais induzem o acoplamento entre modos LG com cargas
topológicas distintas, tal qual descrito no Teorema 3.

Teorema 3. Seja a alteração do índice de refração expandida em série
de Fourier na coordenada angular do plano transverso
∆n(r⊥ ) =

X

αk (r) cos(kθ) + βk (r) sin(kθ),

(18)

k

então os elementos da matriz de acoplamento serão
⟨ψm , ∆nψm′ ⟩ =

X

(m,m′ )

γk

(m,m′ )

δm′ ,m−k + γk

δm′ ,m+k ,

(19)

k
(m,n)

são dados por
 √ |m|+|m′ |
2
Z ∞
′
− 2r2
2
2r
(m,m )
w

γk
= q
rdr 
e 0 (αk (r) + ıβk (r)) (20)
w0
w0 |m|!|m′ |! 0

onde os coeficientes γk

Utilizando o Teorema 3, inferimos que para acoplar os modos LG
de carga m = ±1, é suficiente introduzir alterações de índice de refração
com modulações azimutais senoidais de frequência angular k = ∆m = 2,
podendo também conter termos que independam do ângulo, ou seja,
∆n(r⊥ ) = α0 (r) + α2 (r) cos(2θ) + β2 (r) sin(2θ),

(21)

onde α0 (r) corresponde a um termo puramente radial do índice de refração,
que não acopla os modos LG de carga m = ±1, e os termos α2 (r) e β2 (r)
correspondem aos coeficientes radiais das modulações azimutais senoidais de
frequência angular k = 2, que acoplam os modos LG de carga m = ±1 com
(±1,∓1)
intensidade proporcional aos coeficientes γ2
anteriormente computados,
31

2 MODELO E FORMALISMO

e pela Equação 17 restrita aos modos LG com carga topológica m = ±1,
segue que
ȧ−1 (z)  β0 + γ0−1,−1 a−1 (z) + γ2−1,+1 a+1 (z)



,
ıλ̄
= +1,−1
ȧ+1 (z)
a−1 (z) + β0 + γ0+1,+1 a+1 (z)
γ2










(22)

p=0
2
onde β0 = −λ̄2 LGp=0
±1 , ∇⊥ LG±1 /2n0 , de modo que, notando a igualdade
entre os elementos γ0−1,−1 = γ0+1,+1 e γ2−1,+1 = γ2+1,−1 os quais definiremos
doravante respectivamente por γ0 e γ2 , pode ser representada de maneira
matricial por
D

E

γ2  a−1 (z)
ȧ (z)
(β + γ0 )
,
ıλ̄  −1  =  0
γ2
(β0 + γ0 ) a+1 (z)
ȧ+1 (z)










(23)

onde as partes reais e imaginárias de γ2 são nulas quando as funções β2 (r)
e α2 (r) são nulas, respectivamente, pela Equação 20 do Teorema 3.

32

3 METODOLOGIA

3

METODOLOGIA

Introduzimos, no capítulo anterior, o modelo físico proposto para a
implementação do processamento quântico de informação codificada em
fótons torcidos, para tal tomaremos uma abordagem numérica visando
estimar a evolução espacial dos modos transversos a fim de verificar quão
fidedigno são as implementações segundo nossa modelagem. A evolução
espacial dos modos transversos consiste numa família contínua de operadores
que permite transladar um modo óptico ao longo do eixo de propagação,
de modo que este abarca todo o comportamento da propagação da luz no
interior de um chip fotônico.
Definição 5 (Operador de evolução espacial). Seja Ŝ(z) um operador
linear que atua sobre um modo óptico Ψ(r⊥ , z0 ), de maneira a transladá-lo
no eixo de propagação por um deslocamento z, ou seja,
Ŝ(z)Ψ(r⊥ , z0 ) = Ψ(r⊥ , z0 + z),

(24)

então Ŝ(z) é denominado evolução espacial, apresentando assim a propriedade
Propriedade 1 (composição). Ŝ(z1 )Ŝ(z2 ) = Ŝ(z1 + z2 ).
Para conectarmos, tal formalismo de operadores à propagação da
luz, devemos notar que sendo uma família contínua de operadores podemos definir para estes uma equação diferencial parcial, descrita no Teorema 4[54] .
Teorema 4. Seja Ψ(r⊥ , z) = Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ) um modo óptico transverso
evoluindo ao longo do eixo de propagação
z segundo a família de evoluções

espaciais Ŝ(z) = exp −ıĤ(z)/λ̄ a , equivale a
ıλ̄Ψ̇(r⊥ , z) = Ĥ(z)Ψ(r⊥ , z),

(25)

onde Ĥ(z) = ∂z Ĥ(z) denominado gerador da evolução espacial.
a

Assumimos aqui o princípio da continuidade analítica para a álgebra dos operadores, ou seja,
a expressão exp  corresponde à aplicação da expansão em série de MacLaurin da exponencial no
operador Â.

Dessa forma, podemos caracterizar a Equação paraxial de Helmholtz iden-

33

3 METODOLOGIA

tificando o seu gerador imediatamente por
λ̄2 ∇2⊥

Ĥ(z) = −
+ ∆n(r⊥ , z) ,
2n0




(26)

de maneira que, podemos conjecturar que para quaisquer alterações de
índice de refração ∆n(r⊥ , z), há uma família destes parametrizados pela
posição z no eixo de propagação[45, 48, 54, 55] .
Conjectura 4 (Existência de evolução espacial). Dado uma alteração de índice de refração ∆n(r⊥ , z), existe uma família de operadores
de evolução espacial Ŝ(z) parametrizados pela posição z ∈ R no eixo de
propagação, tal que Ψ(r⊥ , z) = Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ) onde Ψ0 (r⊥ ) é uma condição
de contorno no plano z = 0.
3.1

Estimativa da evolução espacial

Dado que introduzimos a equivalência entre a computação do evolução
espacial e a da propagação da luz, ao definir um modo de entrada Ψ0 (r⊥ )
num chip fotônico no plano z = 0, o operador evolução espacial permite-nos,
em decorrência da Propriedade 1, obter seu perfil em quaisquer planos
transversos ao eixo de propagação de maneira iterativa, ou seja,
Ψ(r⊥ , zi+1 ) = Ŝ(∆zi )Ψ(r⊥ , zi ),

(27)

tomando quaisquer sequências 0µm = z0 < z1 < . . . < zn = zf de planos
transversos, onde ∆zi = zi+1 − zi , tal qual ilustrado na Figura 9[45, 55] .
Para estimar a evolução espacial, aqui utilizaremos o método de
split-step, que consiste em modelar a propagação de um modo óptico
como uma propagação livre seguida de uma correção de fase decorrente da
inomogeneidade do meio a cada passo de iteração da Equação 27[48, 55] , ou
seja,




2
∆n(r
,
z)
λ̄∇
⊥
Ŝ(∆z) ≈ exp −ı
∆z  exp +ı ⊥ ∆z  .
(28)
λ̄
2n0
O termo de propagação livre pode computado utilizando o algoritmo de
transformada rápida de Fourier, de maneira a simplificar e tornar mais
eficiente a exponenciação do operador diferencial que encapsula os efeitos
de difração, resultando assim na seguinte expressão[45, 55]

λ̄ κ2x + κ2y
∆n(r⊥ , z)  −1 


Ŝ(∆z) ≈ exp −ı
∆z F exp +ı
∆z  F {∗} ,
λ̄
2n0
(29)






34











3 METODOLOGIA
Figura 9: Ilustração do processo iterativo de estimativa numérica da propagação da luz em um
chip fotônico, onde a evolução espacial é aplicada iterativamente, numa sequência de planos
equiespaçados por uma distância ∆z, para obter o perfil do modo óptico em cada plano transversal
ao eixo de propagação.

Fonte: G. L. Pedrola [45], 2015.

obtendo, por fim, a representação do estado quântico dos fótons que se
propagam ao longo do chip por intermédio da decomposição dos operadores
apresentada no Teorema 1 a cada plano transverso[33] .
3.2

Fidelidade média de um processo quântico unitário

Ainda que a simulação da propagação da luz seja o passo fundamental
para a metodologia deste trabalho, é necessário também interpor uma
métrica que permita quantificar quão robustas são as implementações
segundo nossa modelagem, para isso, utilizaremos a fidelidade média de um
processo quântico unitário[19, 56] .
Definição 6 (Fidelidade média de um processo quântico unitário).
A fidelidade média entre a implementação real Û e ideal T̂ de um processo
quântico unitário definido é dada por
F[Û, T̂] =

Z

dΨ| ⟨Ψ| T̂† Û |Ψ⟩ |2 .

(30)

A Fidelidade média consiste numa métrica fundamental na teoria de informação quântica, mensurando a qualidade com o qual um processo quântico
é implementado, resultando em 1 quando a implementação é completamente
35

3 METODOLOGIA

fiel e decrescendo à medida que a implementação se torna mais ruidosa, ou
seja, menos precisa[19, 56] .
Contudo, computar a fidelidade média diretamente da definição consiste às máquinas um trabalho complexo, pois envolve uma integral sobre o
espaço de Hilbert, que é contínuo e pode apresentar alta dimensionalidade.
No entanto, para sistemas quânticos de dois níveis (qubits), a fidelidade
média pode ser expressa de maneira mais simples, como estabelecido na
Propriedade 2[56] .
Propriedade 2. A fidelidade média entre a implementação real Û e
ideal T̂ de um processo quântico unitário definido sobre um único qubit é
dada por
1
1 X
F[Û, T̂] = +
tr(T̂σ̂u T̂† Ûσ̂u Û† ).
(31)
2 12 u=x,y,z

36

4 RESULTADOS OBTIDOS

4

RESULTADOS OBTIDOS

Em nosso estudo, objetivamos implementar quatro exemplos de QLGs
elementares, as quais correspondem à composições de rotações geradas
pelos operadores de Pauli X e Y, tal qual descrito na Conjectura 3, dessa
forma, primeiramente tornou-se necessário executar simulações das oscilações dos modos LG em guias construídos com as perturbações azimutais
correspondentes a tais rotações. Contanto, é necessário notar que no Teorema 3 os coeficientes de acoplamento dependem da cintura do feixe, assim
para garantir uma manipulação de alta fidelidade, é necessário suprimir a
difração dos feixes ao longo da propagação. Para isso adicionaremos um
guia de onda anular, ilustrado na Figura 10, que consiste numa variação do
índice de refração com perfil radialmente simétrico, dado por
(r−a)2

∆na (r⊥ ) = ∆n0 e− w2 ,

(32)

onde a corresponde ao raio do guia de onda anular e w à sua largura,
o qual permite o confinamento dos modos LG de carga m = ±1 como
automodos[12, 16] .
Ao simular a evolução dos modos LG de carga m = ±1 no guia anular,
expostos na Figura 11, ainda que, parte da luz inserida no guia escape do
guia, o que se traduz em uma perda de potência ao longo da propagação
tal qual ilustrado na Figura 12 onde apresenta-se um gráfico da potência ao
2
longo da propagação |⟨LGp=0
± , Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ )⟩| para os modos mencionados
anteriormente, observamos que ambos os modos são acoplados mantendo seu
perfil transversal, obtendo fase global, expressa como rotações em sentidos
opostos dos modos ópticos, devido a sua característica de automodo do
guia anular, tal qual descrito na literatura[12, 16] .
4.1

Oscilações de modos sobre a esfera de Poincaré de modos
transversais

Focamos aqui em propor uma rota realizável à microfabricação de
QLGs, no entanto, segundo o que foi apresentado na metodologia seria, a
princípio, necessário microfabricar alterações no índice de refração com um
contraste preciso tal qual exigido em funções senoidais, o que representa uma
tarefa de engenharia extremamente desafiadora5 . Devemos notar, porém,
que a microfabricação de quaisquer estruturas que quebrem a simetria radial
5

Note que a Equação 32 apresenta uma aproximação continua de guias de ondas fabicráveis, que são
comumente implementados por meio de perturbações localizadas microfabricadas.

37

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 10: Visualização do modelo para um guia anular fabricado em vidro (n0 = 1.5078), com
um raio a de 4.4µm e uma largura w de 2.0µm com um contraste de índice ∆n0 de 2.2 × 10−3
entre o núcleo e a casca. O guia anular possui uma geometria de anel circular, projetada para
guiar a luz torcida. Apresentam-se em (a) o perfil tridimensional do guia anular, e em (b) o
perfil transversal do guia anular no plano transversal z = 0µm, que corresponde ao perfil em
qualquer outro plano transverso no chip fotônico.

(a) Perfil tridimensional do guia anular.

(b) Perfil transversal em 0µm.
Fonte: Autor, 2026.

pode ser expandida em série de Fourier, como exposto no Teorema 3, de
modo que, necessitamos apenas de uma estrutura que quebre a simetria
azimutal cujo termo de segunda ordem seja o mais pronunciado.
No presente trabalho, utilizamos um par de alterações gaussianas de
índice microfabricadas sobre o guia de onda anular com metade de seu

38

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 11: Visualização do perfil transversal de entrada dos modos LG de carga m = ±1. O
perfil apresenta a fase onde a intensidade é no mínimo 30% da intensidade máxima.

Fonte: Autor, 2026.

Figura 12: Visualização da evolução de potência dos modos laguerre-gaussianos m = ±1 no guia
anular. Apresentam-se em (a) e (b) as evoluções de potência para perfis de entrada com cargas
topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm.

(a) Evolução do modo com carga topológica
m = −1.

(b) Evolução do modo com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

contraste de índice, nos ângulos θ0 e seu oposto θ0 + π, ou seja,
!
2
|r+a|2
1
− |r−a|
−
∆n(r⊥ ) =∆na (r⊥ ) + ∆n0 e w2 + e w2
2
!
2
2
2ar
− r w+a
2
=∆na (r⊥ ) + ∆n0 e
cos(θ − θ0 )
cosh
2
w
"
!
!
#
2
2
2ar
2ar
− r w+a
≈∆na (r⊥ ) + 2∆n0 e 2 I0
+ 2I2
cos(2(θ − θ0 ))
w2!
w2
r 2 +a2
2ar
≈∆na (r⊥ ) + 2∆n0 e− w2 I0
+
2
w
!
!
2
2
r 2 +a2
2ar
2ar
− r w+a
−
4 cos(2θ0 )∆n0 e 2 I2
cos(2θ) − 4 sin(2θ0 )∆n0 e w2 I2
sin(2θ
w2
w2
39
(33)

4 RESULTADOS OBTIDOS

expandido em série de Fourier pelo Teorema 7 apresentado no Apêndice A,
tendo seus demais termos apresentando contribuições desprezíveis.
Como apresentado em nosso modelo, podemos expressar a Equação
paraxial de Helmholtz por meio de uma CMT para os modos LG de carga
topológica ±1, acoplados por meio de tal perturbação azimutal, podendo
seu coeficiente de acoplamento γ2 ser real positivo, ao escolher θ0 = 0, ou
imaginário positivo, para θ0 = −π/4, representando assim os geradores
Pauli-X e Pauli-Y, tendo as estruturas tridimensionais ilustradas nas Figuras
13 e 14, onde a assimetria azimutal é inserida apenas numa região central
da propagação, por uma distância de τz = 2220µm. Dado que a nossa
CMT, expressa na Equação 23, pode ser escrita como,
ıλ̄ȧ(z) = Ĥa(z),

(34)

onde Ĥ corresponde à matriz de acoplamento, podemos expressar a evolução
dos modos LG de carga m = ±1 utilizando o Teorema 4, ou seja,
z
a(z) = exp −ıĤ a(0),
λ̄
"

#

(35)

de maneira que, ao tomar como gerador os operadores de Pauli, a evolução
dos modos LG de carga m = ±1 os faz rotacionar sobre a esfera de
Poincaré de modos transversais, apresentando oscilações de potência, tal
qual ilustrado nas Figuras 15 e 16, onde se observa que as potências dos
modos LG de carga m = ±1 oscilam com um período dado por τz .

40

4 RESULTADOS OBTIDOS

Figura 13: Visualização do modelo para um guia anular com perturbação do tipo Pauli-X
fabricado em vidro (n0 = 1.5078), com um guia anular de raio de 4.4µm e uma largura de 2.0µm
com um contraste de índice de 2.2 × 10−3 entre o núcleo e a casca e um par de alterações
gaussianas diametralmente opostas, a 4.4µm da origem com um contraste de índice de
1.1 × 10−3 . Apresentam-se em (a) o perfil tridimensional, e em (b), (c) e (d) os perfis
transversais nos planos transversais z = 0.0µm, z = 1.0mm e z = 5.0mm, respectivamente.

(a) Perfil tridimensional do guia anular com perturbação do tipo Pauli-X.

(b) Perfil transversal em 0µm.

(c) Perfil transversal em
1000µm.
Fonte: Autor, 2026.

41

(d) Perfil transversal em
5000µm.

4 RESULTADOS OBTIDOS

Figura 14: Visualização do modelo para um guia anular com perturbação do tipo Pauli-Y
fabricado em vidro (n0 = 1.5078), com um guia anular de raio de 4.4µm e uma largura de 2.0µm
com um contraste de índice de 2.2 × 10−3 entre o núcleo e a casca e um par de alterações
gaussianas diametralmente opostas, a 4.4µm da origem com um contraste de índice de
1.1 × 10−3 . Apresentam-se em (a) o perfil tridimensional, e em (b), (c) e (d) os perfis
transversais nos planos transversais z = 0.0µm, z = 1.0mm e z = 5.0mm, respectivamente.

(a) Perfil tridimensional do guia anular com perturbação do tipo Pauli-Y.

(b) Perfil transversal em 0µm.

(c) Perfil transversal em
1000µm.
Fonte: Autor, 2026.

42

(d) Perfil transversal em
5000µm.

4 RESULTADOS OBTIDOS

Figura 15: Visualização da evolução de potência dos modos laguerre-gaussianos m = ±1 no guia
anular com perturbação do tipo Pauli-X. Apresentam-se em (a) e (b) as evoluções de potência
para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até uma
distância de 5mm.

(a) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

Figura 16: Visualização da evolução de potência dos modos laguerre-gaussianos m = ±1 no guia
anular com perturbação do tipo Pauli-Y. Apresentam-se em (a) e (b) as evoluções de potência
para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e m = +1, respectivamente, até uma
distância de 5mm.

(a) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

4.1.1

Implementações de portas lógicas quânticas

Com as oscilações dos modos LG de carga m = ±1 sobre a esfera de
Poincaré de modos transversais, podemos agora implementar as QLGs mais
43

4 RESULTADOS OBTIDOS

elementares, correspondentes às rotações de Pauli-X e Pauli-Y, que consistem nas operações de negação (bit-flip) e negação defasada (bit-phase-flip),
parametrizadas pelas rotações
X ≡ cos(π/2)I − ı sin(π/2)X = Rx (π),

(36)

Y ≡ cos(π/2)I − ı sin(π/2)Y = Ry (π),

(37)

de modo que podemos implementá-laso pela ao fixar a distância de operação,
distância na qual os fótons se propagam com quebra de simetria azimutal,
como metade do período de oscilação completo τz /2. Obtivemos aqui, para
essas portas, fidelidades médias de respectivamente 0.9941 e 0.9936, como
ilustrado nas Figuras 17 e 18, atestando a robustez de nosso modelo do
processamento de um bit de informação quântica com fótons torcidos, além
disso, computamos a tabela-verdade quântica das portas, ilustrada nas
Figuras 19 e 20, que demonstra o cross-talk dos modos na saída.

44

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 17: Visualização do efeito da QLG Pauli-X, implementada com uma fidelidade média de
0.9941, sobre os modos LG. Apresentam-se em (a) a visualização dos perfis transversais de saída
e em (b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e
m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm.

(a) Perfis transaversais na saída do chip fotônico da QLG Pauli-X.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(c) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

45

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 18: Visualização do efeito da QLG Pauli-Y, implementada com uma fidelidade média de
0.9936, sobre os modos LG. Apresentam-se em (a) a visualização dos perfis transversais de saída
e em (b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e
m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm.

(a) Perfis transaversais na saída do chip fotônico da QLG Pauli-Y.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(c) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

46

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 19: Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-X.

Fonte: Autor, 2026.

Figura 20: Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-Y.

Fonte: Autor, 2026.

Ademais, implementamos as QLGs Pauli-Z e Haddamard, correspondentes às operações de negação de fase (phase-flip) e transformada
47

4 RESULTADOS OBTIDOS

de Fourier quântica de um qubit, parametrizadas pelas composições de
rotações
Z ≡ Y X = Ry (π)Rx (π),
(38)
1
H = √ (X + Z) = (cos(−π/4)I − ı sin(−π/4)Y)X ≡ Ry (−π/2)Rx (π),
2
(39)
implementadas pela modelagem aqui apresentadas ao compor rotações de
Pauli-X e Pauli-Y, tal qual citado anteriormente. Assim, a Porta Pauli-Z é
implementada ao compor a estrutura das QLGs X e Y, enquanto a Porta
Haddamard é implementada por meio da composição de QLG X seguida
da rotação de Pauli-Y até τz /4, resultando num estado su-

48

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 21: Visualização do efeito da QLG Pauli-Z, implementada com uma fidelidade média de
0.9866, sobre os modos LG. Apresentam-se em (a) a visualização dos perfis transversais de saída
e em (b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com cargas topológicas m = −1 e
m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm.

(a) Perfis transaversais na saída do chip fotônico da QLG Pauli-Z.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(c) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

perposto com uma relação de fase precisa. Obtivemos aqui, para essas portas,
fidelidades médias de respectivamente 0.9866 e 0.9889, como ilustrado nas
Figuras 21 e 22, atestando novamente a robustez de nosso modelo, por fim,
computamos também a tabela-verdade quântica das portas, ilustrada nas
Figuras 23 e 24, que demonstra o cross-talk dos modos na saída.

49

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 22: Visualização do efeito da QLG Haddamard, implementada com uma fidelidade média
de 0.9889, sobre os modos LG. Apresentam-se em (a) a visualização dos perfis transversais de
saída e em (b) e (c) as evoluções de potência para perfis de entrada com cargas topológicas
m = −1 e m = +1, respectivamente, até uma distância de 5mm.

(a) Perfis transaversais na saída do chip fotônico da QLG Haddamard.

(b) Evolução do modo LG com carga topológica
m = −1.

(c) Evolução do modo LG com carga topológica
m = +1.

Fonte: Autor, 2026.

50

4 RESULTADOS OBTIDOS
Figura 23: Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Pauli-Z.

Fonte: Autor, 2026.

Figura 24: Visualização da tabela-verdade quântica da QLG Haddamard.

Fonte: Autor, 2026.

51

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

5

CONSIDERAÇÕES FINAIS

No presente trabalho, foi objetivado fundamentar o processamento
em chip fotônico de um bit de informação quântica codificada em fótons
torcidos, a partir de uma modelagem da luz baseada na Equação paraxial
de Helmholtz, e do formalismo de operadores de criação e aniquilação,
seguindo uma abordagem da teoria de modos acoplados. Ainda que o
modelo aqui estabelecido se abstenha da princípal vantagem dos fótons
torcidos, a sua alta-dimensionalidade, o formalismo desenvolvido apresentase extremamente robusto, permitindo a demonstração de que a introdução
de perturbações azimutais estruturadas por meio de alterações gaussianas
podemos realizar operações sobre os fótons torcidos com alta fidelidade.
Efetuamos a validação numérica do formalismo desenvolvido, por
meio do método de split-step, onde embarcamos as assimetrias do sistema
por meio de um par de alterações gaussianas no índice de refração, e
demonstramos que a evolução dos modos ópticos é consistente com as
previsões do modelo. Utilizamos aqui a métrica de fidelidade média para
quantificar a qualidade das implementações em chip das portas PauliX (0.9941), Y (0.9936) e Z (0.9866), ademais à porta de Haddamard
(0.9889) construídas por meio de composições de rotações sobre a esfera
de Poincaré de modos transversais, demonstrando que o confinamento dos
modos ópticos em guias anulares acrescido das perturbações azimutais
estruturadas apresentam alta qualidade e pureza para o processamento
quântico de informação.
As implementações bem sucedidas aqui apresentadas, ainda que sejam
de natureza teórica e restrita a provas de príncipio, de portas lógicas
quânticas consolida o chip fotônico como uma plataforma promissora para
a computação sobre o grau de liberdade abordado. Demonstrando que a
quebra de simetria azimutal controlada atua como um gerador físico de
torque sobre os fótons torcidos, permitindo assim a sua manipulação e
processamento.
Por fim, este trabalho estabelece uma rota realizável ao processamento
quântico de informação codificada em fótons torcidos, utilizando como
plataforma um chip fotônico, abrindo assim portas para futuras pesquisas
quanto à sua extensão ao processamento em alta dimensão. Espera-se que
os modelos aqui desenvolvidos sirvam de guia para a realização física de
dispositivos integrados que explorem a riqueza do momento angular orbital
da luz em futuras tecnologias de informação quântica.

52

REFERÊNCIAS
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60

The Julia Programming Language, Version 1.12.5, dez. de 2025.

56

APÊNDICES

57

A

FUNÇÕES ESPECIAIS

Na modelagem do comportamento de fenômenos apresentados pela
natureza, comumente equações diferenciais são empregadas. Algumas destas, permitem manipulações algébricas de maneira que, quando empregadas,
reduzem-nas a problemas conhecidos como do tipo Sturm-Liouville[54, 57] .
Definição 7 (Operador diferencial hermitiano). Seja L̂ um operador
diferencial que tem a forma
d
d
L̂ =
p(x)
− q(x),
dx
dx
"

#

(40)

onde p(x) e q(x) são funções reais, este é dito Hermitianoa .
Definição 8 (Problema do tipo Sturm-Liouville). Seja L̂ um
operador diferencial hermitiano, à equação de funções características
generalizada
L̂ψ(x) = λw(x)ψ(x),
(41)
dá-se o nome de problema de Sturm-Liouville.
a

Em certos casos não somente a Equação 40 é suficiente para garantir a hermiticidade do operador
diferencial, havendo em adição a necessidade da imposição de certas condições de contorno[54] .

Em decorrência da hermeticidade do operador diferencial que define um
problema do tipo Sturm-Liouville, segue de imediato que suas funções
características são ortogonais para um dado produto interno do espaço de
funções, como descrito no Teorema 5[54, 57] .
Definição 9 (Produto interno do espaço das funções). Dado uma
função w(x), denomina-se a integral
⟨ϕ, ψ⟩ =

Z

w(x)dx ϕ(x)ψ(x),

(42)

como um produto interno do espaço de funções.
Definição 10 (Família ortogonal de funções). uma família de
funções {ψm }m∈M⊆Z tal que
⟨ψm , ψn ⟩ = an δm,n ,

(43)

onde {an } ⊂ C, para um dado produto interno é dita uma família
ortogonal de funções.

58

Teorema 5. Dado um problema de Sturm-Liouville, suas funções características com distintos valores característicos compõem uma família
ortogonal de funções para o produto interno
⟨ϕ, ψ⟩ =

Z
x∈I

w(x)dx ϕ(x)ψ(x),

(44)

para algum intervalo I ⊆ R, onde w(x) é o peso do problema de
Sturm-Liouville.
Neste apêndice iremos nos aprofundar em algumas destas famílias ortogonais
de funções, bem como algumas de suas propriedades utilizadas ao longo
do desenvolvimento teórico do presente trabalho, que solucionam distintos
problemas do tipo Sturm-Liouville.
A.1

Ondas planas e expansão em série de Fourier

A família mais elementar de funções ortogonais é a família das ondas planas. Esta tem por fundamento o problema de Sturm-Liouville
para a equação diferencial do oscilador harmônico simples clássico no
qual o espectro de frequências satisfaz condições de contorno periódicas[54] .
Propriedade 3 (ortogonalidade das ondas planas).
Z b
a

2π

2π

dx e−ı b−a mx e+ı b−a nx = (b − a)δm,n .

(45)

Em decorrência de sua relação de ortogonalidade, tal família é comumente
utilizada para expandir o espaço das funções contínuas num dado intervalo
fechado [a, b] em série, método conhecido como expansão em série de
Fourier[54, 57, 58] .
Definição 11 (Expansão em série de Fourier). Dada uma função
f(x) definida no intervalo [a, b], à expansão em série
f(x) =

+∞
X
n=−∞

2π

zn e−ı b−a nx ,

definida neste mesmo intervalo, dá-se o nome de série de Fourier.

59

(46)

Teorema 6. Os coeficientes zn de uma série de Fourier para um dado
intervalo na reta real, se existirem, são únicos e da forma
Z b
2π
1
zm =
dx e−ı b−a mx f(x).
(b − a) a

A.2

(47)

Polinômios de Hermite e polinômios associados de Laguerre

Outras duas importantes famílias de funções ortogonais, em especial
ao presente trabalho em decorrência de suas aplicações diretas à definição de
feixes de luz torcida em óptica de feixes, são as famílias de polinômios de Hermite, representados graficamente na Figura 25, e dos polinômios associados
de Laguerre, representados graficamente na Figura 26.
Propriedade 4 (ortogonalidade dos polinômios de Hermite).
Z +∞
−∞

√
2
e−x dx Hm (x)Hn (x) = 2n π n!δm,n .

(48)

Propriedade 5 (ortogonalidade dos polinômios associados de
Laguerre).
Z ∞
0

(α)
xα e−x dx L(α)
m (x)Ln (x) =

Γ(n + α + 1)
δm,n .
n!

(49)

Figura 25: Representação gráfica dos polinômios de Hermite H0 (z) = 1, H1 (z) = 2z,
H2 (z) = 4z 2 − 2, H3 (z) = 8z 3 − 12z, H4 (z) = 16z 4 − 48z 2 + 12, definidos segundo a convenção
física.

Fonte: Autor, 2026.

60

(α)

Figura 26: Representação gráfica dos polinômios associados de Laguerre, L1 (z) = −z + α + 1,


(α)
L2 (z) = 12 z 2 − 2(α + 2)z + (α + 1)(α + 2) e
(α)

L3 (z) = 16 −z 3 − 3(α + 3)z 2 − 3(α + 2)(α + 3)z + (α + 1)(α + 2)(α + 3) , para α = 0, 1, 2.



Fonte: Autor, 2026.

A.3

Funções de Bessel do primeiro tipo e sua versão modificada

Outra importante família de funções especiais ao presente trabalho
são as funções de Bessel do primeiro tipo, definida com base nos problemas
de Sturm-Liouville da equação diferencial de Bessel do primeiro tipo, representada graficamente na Figura 27, ademais à sua versão modificada,
representada graficamente na Figura 28,[54, 57, 59] . Ao presente trabalho,
Figura 27: Representação gráfica, para ν = 0, 1, 2, 3, 4, das funções de Bessel do primeiro tipo
Jν (z).

Fonte: Autor, 2026.

um dos principais resultados decorrentes da definição de funções de Bessel
de primeiro tipo e sua versão modificada, consiste na expansão em série
para a composição de cosseno hiperbólico com cosseno[54] .
61

Figura 28: Representação gráfica, para ν = 0, 1, 2, 3, 4, das funções de Bessel modificadas do
primeiro tipo Iν (z) = ı−ν Jν (ız).

Fonte: Autor, 2026.

Teorema 7.
cosh(z cos θ) = I0 (z) + 2

∞
X
n=1

62

I2n (z) cos(2nθ).

(50)

ANEXOS

63

A

CÓDIGO DESENVOLVIDO

O código-fonte abaixo consiste no utilizado na simulação do processamento de informação codificada em modos de luz torcida, conforme
dissertado no presente trabalho. Este foi escrito na linguagem de programação Julia [60] dado à sua velocidade e síntaxe próxima a da linguagem
matemática tradicional6 .
"""
Processamento em chip fotônico de um bit de informação quântica codificada em
fótons torcidos
Autor: C. Antunis B. da S. Santos
Contato: carlos.bonfim@fis.ufal.br
Última modificação: 13 de abril de 2026.
"""
#
Incluir bibliotecas auxiliares
using FFTW: fft, ifft, fftfreq;
# Transformada de Fourier rápida
using ClassicalOrthogonalPolynomials: laguerrel;# Polinômios associados de Laguerre
using LinearAlgebra: tr;
# Traço de matrizes
using GLMakie;
# Visualização de dados
#
Incluir os caminhos de assets
const assets = joinpath(@__DIR__, "..");
const figures = joinpath(assets, "figures");
const videos = joinpath(assets, "videos");
#
Tipagem de dados numéricos
number_t = Union{Float64, Int64};
#
Configurar unidades de medida
const µm = 1;
chips fotônicos)
const nm = 1e-3µm;
const mm = 1e3µm;

# micrômetro (unidade padrão para
# nanômetro
# milímetro

#
Grandezas físicas experimentais
const λ = 780.0nm;
const w0 = 4.4µm;
laguerre-gaussiano

# comprimento de onda da luz
# cintura do feixe

λ_not = λ / (2π);
λ_not2 = λ_not^2;

# comprimento de onda reduzido

#
Parâmetros de escrita dos guias de onda
const n0 = 1.5078;
chip
const ∆n0 = +2.2e-3;
para guia anular
const δn0 = .5∆n0 ;
para spots
const s0 = w0 ;
const W = 2.0µm;
6

# índice de refração do material do
# constrate de índice de refração
# constrate de índice de refração

# raio do guia anular
# raio do spot de escrita

O código está também disponibilizado em um repositório público no GitHub.

64

const ∆z0 = 2.220mm;

# período (obtido empiricamente)

#
Tipagem de coordenadas espaciais
coordinate_t = AbstractArray{<:number_t, 1};
point2d_t = Tuple{<:number_t, <:number_t};
#
Grid espacial de simulação
const x, y = -25µm:0.1µm:+25µm, -25µm:0.1µm:+25µm;
const z = 0.0µm:20µm:5.0mm;
dS = step(x) * step(y);

# elemento de área para integração

#
Tipagem de modos ópticos
mode_t = Matrix{<:Union{ComplexF64, Float64}};
#
Modos laguerre-gaussianos
function laguerreGauss(w0::number_t, l::Int64, X::coordinate_t, Y::coordinate_t,
p::Int64=0)
_l, _s = abs(l), sign(l)
_sqrt2 = sqrt(2)
_x, _y = [x / w0 for x in X, _ in Y], [y / w0 for _ in X, y in Y]
_z = @. _sqrt2 * (_x + 1im * _s * _y)
r2 = @. .5abs2(_z)
A = sqrt(2 * factorial(p) / (π * w0^2 * factorial(p + _l)))
end

return @. A * _z^_l * laguerrel(p, _l, 2r2 ) * exp(-r2 )

#
Tipagem de guias de onda
function_t = Union{<:Function};
waveguide_t = Union{<:Function};
#
Funções para construção de guias de onda reto
function straight(
∆n::number_t, κ::function_t,
zi::number_t, ∆z::number_t,
r_i::point2d_t=(0., 0.),
r_f::point2d_t=(0., 0.)
)
v_x, v_y = (r_f .- r_i) ./ ∆z
half∆z = 0.5∆z
zm = zi + half∆z
return (x::coordinate_t, y::coordinate_t, z::number_t) -> begin
X = [x - r_i[1] - v_x * (z - zi) for x in x, _ in y]
Y = [y - r_i[2] - v_y * (z - zi) for _ in x, y in y]
return (abs(z - zm) ≤ half∆z) ?
∆n * κ.(X, Y, z) :
zeros(Float64, length(x), length(y))
end
end
#
Funções dos perfis transversais dos guias de onda
function gaussian(W::number_t)
return (x::number_t, y::number_t, z::number_t) -> begin
return exp(-(x^2 + y^2) / W^2)

65

end
end
function annular(a::number_t, W::number_t)
return (x::number_t, y::number_t, z::number_t) -> begin
r = sqrt(x^2 + y^2)
return exp(-((r - a)^2) / W^2)
end
end
#
Rotina de visualização 3D de guias de onda
function visualize!(
ax::GLMakie.Axis3,
∆n::AbstractArray{<:waveguide_t,1},
X::coordinate_t, Y::coordinate_t,
zi::number_t, zf::number_t;
planes::Int64=20,
cmap::Union{Symbol,Reverse{Symbol}}=Reverse(:bone)
)
G(z) = sum([δn(X, Y, z) for δn in ∆n])
Nx, Ny = length(X), length(Y)
∆nVol = permutedims(
reshape(
hcat([G(z) for z in LinRange(zi, zf, planes)]...),
Nx, Ny, planes
),
(1, 3, 2)
)
v = volume!(
ax,
(X[1], X[end]), (zi, zf), (Y[1], Y[end]),
∆nVol;
colormap=cmap,
algorithm=:mip,
transparency=true
)
return v
end
#
Funções para construção do método split-step
function splitStep(
X::coordinate_t, Y::coordinate_t,
n0::number_t,
∆n::AbstractArray{<:waveguide_t,1}=[(x, y, z) -> 0.0]
)
ux = 2π * fftfreq(length(X), 1. / step(X));
uy = 2π * fftfreq(length(Y), 1. / step(Y));
∇2 = [-(ξ x ^2 + ξ y ^2) for ξ x in ux , ξ y in uy ];

end

G(z) = sum([δn(X, Y, z) for δn in ∆n])
return (Ψ::mode_t, λ::number_t, z::number_t, ∆z::number_t) -> begin
κ0 = 2π / λ
κ = κ0 * n0
return exp.(-1im * κ0 * G(z) * ∆z) .*
ifft(exp.(-1im * ∇2 / 2κ * ∆z) .* fft(Ψ))
end

66

#
Produto interno entre funções de quadrado integrável
⊙(ϕ::mode_t, ψ::mode_t) = begin
return round.(sum(conj.(ϕ) .* ψ), digits=8)
end
#
Tipagem de processos quânticos unitários
operator_t = Union{<:AbstractMatrix{<:Union{ComplexF64,Float64}}};
#
Fidelidade média entre processos quânticos unitários
function fidelity(U::operator_t, T::operator_t)
Pauli_x = [0 1; 1 0]
Pauli_y = [0 -1im; 1im 0]
Pauli_z = [1 0; 0 -1]

end

traces = [
tr(T * Pauli * T' * U * Pauli * U') for Pauli in [Pauli_x, Pauli_y, Pauli_z]
]
return 0.5 + (1 / 12) * sum(traces)

"""
Rotina principal de execução do código-fonte
"""
#
Computar a base computacional de modos laguerre-gaussianos no chip fotônico
Ψ−1 = laguerreGauss(w0 , -1, x, y);
Ψ+1 = laguerreGauss(w0 , +1, x, y);
#
Computar nomes e perfis de chips fotônicos
names = ["I", "X", "Y"];
∆n_anular = [straight(∆n0 , annular(s0 , W), z[1], z[end])];
function ∆n_G(ζ 0 , ∆ζ, γ 0 )
x0 , y0 = s0 * cos(γ 0 - π/2), s0 * sin(γ 0 - π/2);
return [
straight(δn0 , gaussian(W), ζ 0 , ∆ζ, (+x0 , +y0 ), (+x0 , +y0 )),
straight(δn0 , gaussian(W), ζ 0 , ∆ζ, (-x0 , -y0 ), (-x0 , -y0 ))
];
end
z0 = 1.250mm;
chips = [
∆n_anular,
vcat(∆n_anular, ∆n_G(z0 , ∆z0 , π/2)),
vcat(∆n_anular, ∆n_G(z0 , ∆z0 , π/4))
];

# posição inicial dos guias de onda.

#
Método para computar laplaciano do modo transversal
function ∇2 (ψ::mode_t)
Fψ = fft(ψ);
ux = 2π * fftfreq(length(x), 1. / step(x));
uy = 2π * fftfreq(length(y), 1. / step(y));
∇2 = [-(ξ x ^2 + ξ y ^2) for ξ x in ux , ξ y in uy ];

67

end

return ifft(∇2 .* Fψ);

H0 = [
Ψ−1 ⊙ (-λ_not2 * ∇2 (Ψ−1 ) / 2n0 ) Ψ−1 ⊙ (-λ_not2 * ∇2 (Ψ+1 ) / 2n0 );
Ψ+1 ⊙ (-λ_not2 * ∇2 (Ψ−1 ) / 2n0 ) Ψ+1 ⊙ (-λ_not2 * ∇2 (Ψ+1 ) / 2n0 );
];
#
Função para computar perfil transversal do modo
function profile(ψ)
I = abs2.(ψ)
I_max = maximum(I)
Φ = angle.(ψ)
return (I .> 0.3I_max) .* Φ
end
for (name, ∆n) in zip(names, chips)
println("Iniciando a simulação com gerador Pauli-$name");
#
Obter a representação matricial do gerador
V = sum([δn(x, y, z0 ) for δn in ∆n]);
U = [
Ψ−1 ⊙ (V .* Ψ−1 ) Ψ−1 ⊙ (V .* Ψ+1 );
Ψ+1 ⊙ (V .* Ψ−1 ) Ψ+1 ⊙ (V .* Ψ+1 );
];
H = (H0 + U) .* dS / λ_not;
ζ 0 = abs(2π / H[1,2]);
println("Gerador Pauli-$name:");
display(H);
println("Periodo de oscilação: $ζ 0 µm");
#
Visualizar o perfil de índice de refração do chip fotônico
print("Renderizando chip-waveguides-$name.png em ../figures/ ");
fig3dChip = GLMakie.Figure(size=(1000, 600));
ax3dChip = GLMakie.Axis3(
fig3dChip[1,1],
xlabel=L"x (\mu{m})",
ylabel=L"z (\mu{m})",
zlabel=L"y (\mu{m})",
aspect=(2,3,2)
);
v = visualize!(
ax3dChip,
∆n, x, y, z[1], z[end];
planes=50,
);
Colorbar(fig3dChip[1,2], v, label="∆n");
save(joinpath(figures, "chip-waveguides-$name.png"), fig3dChip);
println("[COMPLETO]");
#
Visualizar o perfil transversal de índice de refração do chip fotônico
println("Renderizando perfis transversais dos guias");
for z in [z[1], z0 , z[end]]

68

print("\tRenderizando chip-waveguides-$name-z$(round(z/mm)).png em
../figures/ ");
fig2dChip = GLMakie.Figure(size=(600, 500))
ax2dChip = GLMakie.Axis(
fig2dChip[1,1],
xlabel=L"x (\mu{m})",
ylabel=L"y (\mu{m})"
);
V = sum([δn(x, y, z) for δn in ∆n]);
h = heatmap!(ax2dChip, x, y, V; colormap=:bone);
Colorbar(fig2dChip[1,2], h, label="∆n");
save(joinpath(figures, "chip-waveguides-$name-z$(round(z/mm)).png"),
fig2dChip);
println("[COMPLETO]");
end
#
Computar o operador de propagação do guia de onda anular
P = splitStep(x, y, n0 , ∆n)
#
Computar a evolução dos modos laguerre-gaussianos ao longo do chip
fotônico
print("Renderizando evolucao-modos-$name.mp4 em ../videos/ ")
Φ−0 , Φ+0 = Ψ−1 , Ψ+1 ;
figΨ = Figure(size=(1200, 500));
axΨ = [
Axis(
figΨ[1, 1],
title=L"LG$^{\ell = -1}_{p = 0}$",
xlabel=L"x (\mu m)", ylabel=L"y (\mu m)"
),
Axis(
figΨ[1, 3],
title=L"LG$^{\ell = +1}_{p = 0}$",
xlabel=L"x (\mu m)", ylabel=L"y (\mu m)"
)
];
hΨ = [
heatmap!(axΨ[1], x, y, profile(Φ−0 ); colormap=:twilight, colorrange=(-π, π)),
heatmap!(axΨ[2], x, y, profile(Φ+0 ); colormap=:twilight, colorrange=(-π, π))
];
Colorbar(figΨ[1, 2], hΨ[1]);
Colorbar(figΨ[1, 4], hΨ[2]);
suptitle = Label(figΨ[0, :], "z = 0 µm");
a, b = [
[1. + 0. * im],
[0. + 0. * im]
], [
[0. + 0. * im],
[1. + 0. * im]
];
record(
figΨ,
joinpath(videos, "evolucao-modos-$name.mp4"), z[2:end]; framerate=30
) do Z

69

Φ−0 , Φ+0 = P(Φ−0 , λ, Z, 20µm), P(Φ+0 , λ, Z, 20µm);
hΨ[1][3][] = profile(Φ−0 );
hΨ[2][3][] = profile(Φ+0 );
suptitle.text = "z = $(round(Z/µm)) µm";
push!(a[1], (Ψ−1 ⊙ Φ−0 ) * dS);
push!(a[2], (Ψ+1 ⊙ Φ−0 ) * dS);
push!(b[1], (Ψ−1 ⊙ Φ+0 ) * dS);
push!(b[2], (Ψ+1 ⊙ Φ+0 ) * dS);

end
println("[COMPLETO]");

#
Visualizar as oscilações do tipo Rabi de modos
println("Renderizando curvas de potência dos modos");
for (c, m) in zip([a, b], ["neg","pos"])
print("\tRenderizando oscilacoes-rabi-$name-$m.png em ../figures/ ");
figRabi = GLMakie.Figure(size=(600, 500))
axRabi = GLMakie.Axis(
figRabi[1,1],
xlabel=L"z (\mu{m})",
ylabel=L"T(z)",
);
lines!(axRabi, z, abs2.(c[1]); label=L"|a_-(z)|^2", color=:red);
lines!(axRabi, z, abs2.(c[2]); label=L"|a_+(z)|^2", color=:blue);
axislegend(axRabi);
save(joinpath(figures, "oscilacoes-rabi-$name-$m.png"), figRabi);
println("[COMPLETO]");
end
println("");
end
#
Nomear as portas lógicas quânticas a serem simuladas
names = ["X","Y","Z","H"];
QLGs = [
[0.0 1.0; 1.0 0.0],
[0.0 -1.0im; +1.0im 0.0],
[+1.0 0.0; 0.0 -1.0],
(1.0/sqrt(2.0)) * [1.0 1.0; 1.0 -1.0]
];
#
Computar perfis de índice de refração dos chips fotônicos para portas lógicas
z0 = 1.0mm;
# posição inicial dos guias de onda.
chips = [
vcat(
∆n_anular,
∆n_G(z0 , .5∆z0 , π/2)
),
vcat(
∆n_anular,
∆n_G(z0 , .5∆z0 , π/4)
),
vcat(
∆n_anular,
∆n_G(z0 , .5∆z0 , π/2),

70

∆n_G(z0 +.5∆z0 , .5∆z0 , π/4)
),
vcat(
∆n_anular,
∆n_G(z0 , .5∆z0 , π/2),
∆n_G(z0 +.5∆z0 , .25∆z0 , -π/4)
),
];
for (name, Target, ∆n) in zip(names, QLGs, chips)
println("Iniciando a simulação da porta lógica $name");
#
Visualizar o perfil de índice de refração do chip fotônico
print("Renderizando chip-waveguides-QLG-$name.png em ../figures/ ");
fig3dChip = GLMakie.Figure(size=(1000, 600));
ax3dChip = GLMakie.Axis3(
fig3dChip[1,1],
xlabel=L"x (\mu{m})",
ylabel=L"z (\mu{m})",
zlabel=L"y (\mu{m})",
aspect=(2,3,2)
);
v = visualize!(
ax3dChip,
∆n, x, y, z[1], z[end];
planes=50,
);
Colorbar(fig3dChip[1,2], v, label="∆n");
save(joinpath(figures, "chip-waveguides-QLG-$name.png"), fig3dChip);
println("[COMPLETO]");
#
Computar o operador de propagação do guia de onda anular
P = splitStep(x, y, n0 , ∆n)
#
Computar a evolução dos modos laguerre-gaussianos ao longo do chip
fotônico
print("Renderizando evolucao-modos-QLG-$name.mp4 em ../videos/ ")
Φ−0 , Φ+0 = Ψ−1 , Ψ+1 ;
figΨ = Figure(size=(1200, 500));
axΨ = [
Axis(
figΨ[1, 1],
title=L"LG$^{\ell = -1}_{p = 0}$",
xlabel=L"x (\mu m)", ylabel=L"y (\mu m)"
),
Axis(
figΨ[1, 3],
title=L"LG$^{\ell = +1}_{p = 0}$",
xlabel=L"x (\mu m)", ylabel=L"y (\mu m)"
)
];

hΨ = [
heatmap!(axΨ[1], x, y, profile(Φ−0 ); colormap=:twilight, colorrange=(-π, π)),
heatmap!(axΨ[2], x, y, profile(Φ+0 ); colormap=:twilight, colorrange=(-π, π))

71

];
Colorbar(figΨ[1, 2], hΨ[1]);
Colorbar(figΨ[1, 4], hΨ[2]);
suptitle = Label(figΨ[0, :], "z = 0 µm");
a, b = [
[1. + 0. * im],
[0. + 0. * im]
], [
[0. + 0. * im],
[1. + 0. * im]
];
record(
figΨ,
joinpath(videos, "evolucao-modos-QLG-$name.mp4"), z[2:end]; framerate=30
) do Z
Φ−0 , Φ+0 = P(Φ−0 , λ, Z, 20µm), P(Φ+0 , λ, Z, 20µm);
hΨ[1][3][] = profile(Φ−0 );
hΨ[2][3][] = profile(Φ+0 );
suptitle.text = "z = $(round(Z/µm)) µm";
push!(a[1], (Ψ−1 ⊙ Φ−0 ) * dS);
push!(a[2], (Ψ+1 ⊙ Φ−0 ) * dS);
push!(b[1], (Ψ−1 ⊙ Φ+0 ) * dS);
push!(b[2], (Ψ+1 ⊙ Φ+0 ) * dS);

end
println("[COMPLETO]");

#
Visualizar as oscilações do tipo Rabi de modos
println("Renderizando curvas de potência dos modos");
for (c, m) in zip([a, b], ["neg","pos"])
print("\tRenderizando oscilacoes-rabi-QLG-$name-$m.png em ../figures/ ");
figRabi = GLMakie.Figure(size=(600, 500))
axRabi = GLMakie.Axis(
figRabi[1,1],
xlabel=L"z (\mu{m})",
ylabel=L"T(z)",
);
lines!(axRabi, z, abs2.(c[1]); label=L"|a_-(z)|^2", color=:red);
lines!(axRabi, z, abs2.(c[2]); label=L"|a_+(z)|^2", color=:blue);
axislegend(axRabi);
save(joinpath(figures, "oscilacoes-rabi-QLG-$name-$m.png"), figRabi);
println("[COMPLETO]");
end
#
Computar a representação matricial do operador de propagação do chip
fotônico
println("Computando porta lógica implementada pelo chip fotônico");
U() = begin
A = [a[1][end], a[2][end]];
B = [b[1][end], b[2][end]];

72

N = [
sqrt(abs2(A[1]) + abs2(A[2])),
sqrt(abs2(B[1]) + abs2(B[2]))
];
A ./= N;
B ./= N;
end

return [A[1] B[1]; A[2] B[2]];

Gate = U()
println("\tPorta lógica $name:");
display(Gate);
F = fidelity(Gate, Target);
println("\tFidelidade média da porta lógica $name: $F");
#
Visualizar a tabela-verdade da porta lógica implementada pelo chip fotônico
print("\tRenderizando tabela-verdade-QLG-$name.png em ../figures/ ")
dominio = [(i,j) for i in 1:2 for j in 1:2];
τ = [abs2(Gate[i,j]) for (i,j) in dominio];
figTabelaVerdade = Figure(size=(800, 600));
axTabelaVerdade = Axis3(
figTabelaVerdade[1,1],
xlabel="", ylabel="", zlabel="probabilidade de ocupação",
aspect=(2, 2, 3),
elevation=0.35π, azimuth=0.3π
);
axTabelaVerdade.yticks = (1.25:2.25, [
L"\mathrm{LG}^{p = 0}_{m = -1}",
L"\mathrm{LG}^{p = 0}_{m = +1}",
]);
axTabelaVerdade.xticks = (1.25:2.25, [
L"\mathrm{LG}^{p = 0}_{m = -1}",
L"\mathrm{LG}^{p = 0}_{m = +1}",
]);
meshscatter!(axTabelaVerdade, dominio;
markersize=[Vec3f(1.25, 1.25, τ ) for τ in τ ],
marker=Rect3f((0., 0., 0.), (0.5, 0.5, 1)),
color=to_colormap(Reverse(:bone)),
);
save(joinpath(figures, "tabela-verdade-QLG-$name.png"), figTabelaVerdade);
println("[COMPLETO]");
println("");
end

73

B

DEMONSTRAÇÕES DE TEOREMAS

Teorema 1
p=0
Seja ψ = αLGp=0
−1 + βLG+1 , segue de imediato que, para quaisquer campos
Ψ sua componente na direção de ψ será dada por
p=0
aψ =⟨ψ, Ψ⟩ = α⟨LGp=0
−1 , Ψ⟩ + β⟨LG+1 , Ψ⟩
=αa− + βa+ ,

(51)

onde a± é a componente do campo na direção dos modos LG de carga
m = ±1, assim, promovendo a operadores de aniquilação
âψ = αâ− + βâ+ ,

(52)

de maneira que, tomando o adjunto hermitiano, segue que
†
†
âψ† = αâ−
+ βâ+
,

(53)

p=0
por fim, notando que α = ⟨LGp=0
−1 , ψ⟩ e β = ⟨LG+1 , ψ⟩, segue que
p=0
†
†
âψ† = ⟨LGp=0
−1 , ψ⟩â− + ⟨LG+1 , ψ⟩â+ .

(54)

Teorema 2
∂
Seja τ (r⊥ , z) = ψ L̂z ψ onde L̂z = ı ∂θ

∂ 
ıλ̄τ̇ =ıλ̄
ψ L̂z ψ
∂z
!
!
∂
∂
=ψ ıλ̄ L̂z ψ + ıλ̄ ψ L̂z ψ
∂z
∂z !
!
∂
∂
=ψ L̂z ıλ̄ ψ + ıλ̄ ψ L̂z ψ,
∂z
∂z

(55)

então utilizando a aproximação paraxial da equação de Helmholtz, segue
que
2 2
2 2
−λ̄
∇
−λ̄
∇⊥
⊥
+ ∆n ψ  − 
+ ∆n ψ  L̂z ψ
ıλ̄τ̇ =ψ L̂z 
2n0
2n0




2 2
2 2


−λ̄
∇
−λ̄
∇
⊥ 
⊥ 
=ψ L̂z
ψ −
ψ L̂z ψ + ψ L̂z , ∆n ψ.
2n0
2n0












(56)

Assim, dado que
∂
∂
∂
L̂z , ∆n ψ = ı
(∆nψ) − ∆n ψ = ı
∆n ψ,
∂θ
∂θ
∂θ



!



74

!

(57)

bem como, por f ∇2⊥ g − g∇2⊥ f = div⊥ (f ∇⊥ g − g∇⊥ f ),








L̂z ψ = div⊥ ψ∇⊥ L̂z ψ − L̂z ψ∇⊥ ψ ,

(58)

λ̄2
∂
∂
∂
div⊥ ψ∇⊥ ψ − ψ∇⊥ ψ + ıψ
ıλ̄τ̇ = −ı
∆n ψ,
2n0
∂θ
∂θ
∂θ

(59)

ψ

L̂z ∇2⊥ ψ

−



∇2⊥ ψ



de modo que
!

!

∂
∂
∂
definindo Jτ (r⊥ , z) = 2nλ̄0 ψ∇⊥ ∂θ
∆n e
ψ − ∂θ
ψ∇⊥ ψ , T(r⊥ , z) = λ̄1 ∂θ
ρ(r⊥ , z) = ψψ e, ao final, dividindo a equação por ıλ̄, discorre que




τ̇ (r⊥ , z) + div⊥ Jτ (r⊥ , z) = T(r⊥ , z)ρ(r⊥ , z).

(60)

Teorema 3

Temos que, em decorrência da definição dos modos laguerre-guassianos,
v
 √ |m|+|m′ |
2
− 2r2 ı(m′ −m)θ
u
1
2r 
2 u
p=0
p=0
w
t

e 0e
∆n,
(61)
ψm ∆nψm′ =
πw0 |m′ |!|m|! w0
impondo a expansão em série de Fourier na coordenada azimutal da alteração
do índice de refração ∆n, segue que
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
u
2
1
2r 
p=0
p=0
ı(m′ −m)θ
w
t

0
ψm ∆nψm′ =
e
ak (r) cos(kθ)
e
πw0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
2 u
1
2r 
′
w
t

0
+
e
eı(m −m)θ bk (r) sin(kθ),
′
πw0 |m |!|m|! w0
k=0
(62)
assim, dado que cos θ = exp(+ıθ)+exp(−ıθ)
e sin θ = exp(+ıθ)−exp(−ıθ)
, temos que
2
2ı
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
u
1
1
2r
p=0
p=0
+ı(m′ −m+k)θ
w
t


0
e
ψm ∆nψm′ =
a
(r)e
k
πw0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
∞
− 2r2 X
u
1 u
1
2r 
+ı(m′ −m−k)θ
w
t

0
+
e
a
(r)e
k
πw0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
∞
− 2r2 X
u
1 u
1
2r 
+ı(m′ −m+k)θ
w
t

0
−
e
b
(r)e
ı
k
πw0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
1 u
1
2r 
′
w
t

0
+
e
bk (r)e+ı(m −m−k)θ ı,
′
πw0 |m |!|m|! w0
k=0
(63)

75

utilizando a ortogonalidade das ondas planas na coordenada angular entre
−π a +π, tal qual descrito na Propriedade 3,
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
Z +π
∞
− 2r2 X
u
2
1
2r
p=0
p=0
w
t


0
ψm ∆nψm′ dθ =
e
ak (r)δm′ −m+k,0
−π
w0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
∞
− 2r2 X
u
1
2r 
2u
w
t

0
+
e
ak (r)δm′ −m−k,0
w0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
u
2t
1
2r 
w

0
e
−
bk (r)δm′ −m+k,0 ı
w0 |m′ |!|m|! w0
k=0
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
∞
− 2r2 X
2u
1
2r 
w
t

0
e
+
bk (r)δm′ −m−k,0 ı,
w0 |m′ |!|m|! w0
k=0
(64)
de modo que, integrando em rdr entre 0 e ∞, reconhecendo a integral como
o produto interno e definindo a transformada integral
v
 √ |m|+|m′ |
2
u
Z
∞
− 2r2
2u
1
2r 
w
t

(65)
I{f} =
rdr
e 0 f(r),
w0 |m′ |!|m|! 0
w0
segue que
p=0
p=0
⟨ψm
, ∆nψm
′ ⟩ =

∞
X

I{ak (r) − ıbk (r)}δm′ ,m−k + I{ak (r) + ıbk (r)}δm′ ,m+k ,

k=0

(66)

por fim, ao definir
(m,m′ )

γk

=I{ak (r) + ıbk (r)}

v
 √ |m|+|m′ |
2
Z ∞
(67)
− 2r2
u
2u
1
2r
w
t


0
=
e
rdr
(ak (r) + ıbk (r)) ,
w0 |m′ |!|m|! 0
w0

tem-se que
p=0
p=0
⟨ψm
, ∆nψm
′ ⟩ =

∞
X

(m,m′ )

γk

k=0

76

(m,m′ )

)δm′ ,m−k + γk

δm′ ,m+k .

(68)

Teorema 4




Seja Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ) = exp −ıĤΨ0 (r⊥ )(z)/λ̄ um operador de evolução espacial,
então








ıλ̄∂z Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ) =ıλ̄ ∂z Ŝ(z) Ψ0 (r⊥ )


=ıλ̄ ∂z exp −ıĤ(z)/λ̄ Ψ0 (r⊥ )
"


#
ı
=ıλ̄ − ∂z Ĥ(z) exp −ıĤ(z)/λ̄ Ψ0 (r⊥ )
λ̄ 


= ∂z Ĥ(z) Ŝ(z) Ψ0 (r⊥ )


(69)



= ∂z Ĥ(z) Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ),
por fim, definindo Ψ(r⊥ , z) = Ŝ(z)Ψ0 (r⊥ ) e Ĥ(z) = ∂z Ĥ(z), segue de
imediato que,
ıλ̄∂z Ψ(r⊥ , z) = Ĥ(z)Ψ(r⊥ , z).
(70)
Teorema 5

Dado que por ser um problema do tipo Sturm-Liouville, as funções características são tais que,
d
d
L̂Ψm =
p(x)
− q(x) Ψm (x) = λm w(x)Ψm (x),
dx
dx
"

!

#

(71)

além disso, por p(x), q(x) e w(x) serem reais, e por L̂ ser hermitiano,
d
d
L̂Ψm =
p(x)
− q(x) Ψm (x) = λm w(x)Ψm (x).
dx
dx
Dessa forma, segue de imediato que,
!

"

(λm − λn )

Z
x∈I

#

w(x)dx Ψm (x)Ψn (x) =
=

Z

(72)

dx Ψn (λm w)Ψm − Ψm (λn w)Ψn
h

x∈I
Z
x∈I



i



dx Ψn (L̂Ψm ) − Ψm (L̂Ψn ) ,
(73)

ademais, notando que
d
d
Ψn (L̂Ψm ) − Ψm (L̂Ψn ) = Ψn
p(x)
dx
dx
"

!#

d
d
Ψm − Ψm
p(x)
dx
dx
"

!#

(74)

aplicando integração por partes discorre que,
d
d
(λm − λn )
w(x)dx Ψm (x)Ψn (x) = p(x) Ψn Ψm − Ψm Ψn
x∈I
dx
dx
"

Z

77

Ψn ,

!#
∂I

,

(75)

dado que não foi imposto a priori o intervalo I, este pode ser qualquer,
assumindoh então que ele é tomado talique, em decorrência das condições de
d
d
Ψn ∂I se anula, para λm ̸= λn , verifica-se
contorno, p(x) Ψn dx
Ψm − Ψm dx
que, para o produto interno definido como
⟨ϕ, ψ⟩ =

Z
x∈I

(76)

w(x)dx ϕ(x)ψ(x),

⟨Ψm , Ψn ⟩ = 0, ou seja, a família de funções {Ψm } é ortogonal.
Teorema 6

Dada uma função f(x), cuja expansão em série de Fourier em [a, b] é dada
por
f(x) =

+∞
X

2π

n=−∞

zn e−ı b−a nx .

(77)

utilizando a Propriedade 3, segue de imediato que
Z b
a

2π

dx e−ı b−a mx f(x) =
=
=

de modo que
zm =

Z b
a

2π

dx e−ı b−a mx

+∞
X
n=−∞

+∞
X
n=−∞
+∞
X
n=−∞

zn

Z b
a

2π

zn e−ı b−a mx

2π

2π

dx e−ı b−a nx e−ı b−a mx

(78)

(b − a)zn δm,n = (b − a)zm .

Z b
2π
1
dx e−ı b−a mx f(x).
(b − a) a

(79)

Teorema 7

Para a demonstração do Teorema 7 apresentaremos a seguir algumas propriedades adicionais das funções de Bessel do primeiro tipo, as quais não
demonstraremos apenas por não compor o escopo do presente trabalho,
ademais à identidade de Jacobi-Anger.
Propriedade 6 (forma integral das funções de Bessel de primeiro
tipo).
1Zπ
Jn (x) =
dt cos(x sin(t) − nt).
(80)
π 0
Propriedade 7 (paridade das funções de Bessel do primeiro tipo).

78

Jn (−x) = (−1)n Jn (x).

(81)

Propriedade 8 (paridade no índice de funções de Bessel do
primeiro tipo).
J−n (x) = (−1)n Jn (x).
(82)
Propriedade 9 (identidade de Jacobi-Anger).
ız cos θ

e

= J0 (z) + 2

∞
X
n

ı Jn (z) cos(nθ).

(83)

n=0

A fim de demonstrar primeiramente a identidade de Jacobi-Anger, tomemos
a expansão de eız sin θ em Série de Fourier , discorrendo do Teorema 6 que
eız sin θ =

+∞
X

zn (z)eınθ , com, zn (z) =

n=−∞

1 Z +π
dθe−ınθ eız sin θ ,
−π
2π

(84)

note que, como eıθ = cos θ + ı sin θ, pela paridade das funções seno e cosseno
e utilizando a forma integral da função de Bessel, os coeficientes podem ser
descritos como
1Zπ
zn (z) =
dθ cos(z sin θ − nθ) = Jn (z),
(85)
π 0
π
ınθ
logo exp(ız sin θ) = +∞
n=−∞ Jn (z)e , assim, como sin(θ + 2 ) = cos θ, utilizando as Propriedades de paridade no argumento da função de Bessel e no
seu índice, segue que,
P

e

ız cos θ

=

+∞
X
n=−∞

Jn (z)e

=J0 (z) +
=J0 (z) +

∞
X
n=1
∞
X

ın(θ+ π2 )

=

+∞
X
n=−∞

ın Jn (z)eınθ

(−ı)n (−1)n Jn (z)e−ınθ + ı+n J+n (z)e+ınθ
ın Jn (z)(e−ınθ + e+ınθ ) = J0 (z) + 2

n=1

∞
X
n

ı Jn (z) cos(nθ).

n=1

(86)

Assim, utilizando a definição de funcao de Bessel modificada do primeiro
tipo Iν (z) = ı−ν Jν (ız) e novamente a Propriedade de paridade no argumento
da função de Bessel na identidade de Jacobi-Anger, obtém-se que
ez cos θ = I0 (z) + 2

∞
X
n=1

79

In (z) cos(nθ),

(87)

por fim, utilizando novamente a Propriedade de paridade no argumento da
função de Bessel,

1  +z cos θ
e
+ e−z cos θ
2

∞
X
1
= I0 (+z) + I0 (−z) + 2 (In (+z) + In (−z)) cos(nθ)
2
n=0


∞
X
1
= 2I0 (z) + 2 (1 + (−1)n )In (z) cos(nθ)
2
n=0


∞
X
1
2δn mod 2,0 In (z) cos(nθ)
= 2I0 (z) + 2
2
n=0
X
=I0 (z) + 2
I2m (z) cos(2mθ).

cosh(z cos θ) =

m=1

(88)

80