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                    Exame de Qualificação - Mecânica Quântica
26/08/20
Nome:
Semestre 2020.2
26/08/20
Limite de tempo: 4 horas e 30 minutos

Professor

Italo Nunes de Oliveira

1) Considere um oscilador harmônico unidmensional de Hamiltoniano H e estados estacionários |ϕn i, tal
que
H|ϕn i = }ω (n + 1/2) |ϕn i,
(1)
com n = 0, 1, 2, 3 . . .. O operador U(k) é definido como:
U(k) = eikX ,

(2)

∑ |hϕn |U(k)|ϕn i|2 = 1.

(3)

onde X é o operador posição.
(a) O operador U(k) é unitário? Mostre que
0

n0

(b) Os operadores de aniquilação e criação, a e a† , são definidos como
r


mω
iPx
a=
X+
2}
mω
r


mω
iPx
a† =
X−
.
2}
mω
onde Px é a componente x do operador momento linear. Sabendo que
√
a|ϕn i = n|ϕn−1 i
e
a† |ϕn i =

√
n + 1|ϕn+1 i,

(4)
(5)

(6)

(7)

mostre que


hϕ0 |U(k)|ϕ0 i = exp −k2 hϕ0 |X 2 |ϕ0 i/2 .
Dica: Use a identidade

(At)`
.
`=0 `!

(8)

∞

eAt = ∑

(9)

onde A é um operador e t é um escalar.
2) Considere um sistema de momento angular J, com j = 1. A base do espaço de estados é formada pelos
autovetores dos J 2 e Jz : {|1, 1i, |1, 0i, |1, −1i}, com J 2 | j, mi = j( j + 1)}2 | j, mi e Jz | j, mi = m}| j, mi. O
Hamiltoniano do sistema é definido como:
H0 = ω0 Jz +

ω1 2
J .
} z

Aqui ω1 ≥ ω0 .
a) Quais são os níveis de energia do sistema? Para que razão ω1 /ω0 há estados degenerados?

(10)

Exame de Qualificação - Mecânica Quântica

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b) Um campo magnético B0 é aplicado ao longo da direção x, de forma que uma perturbação age no sistema,
dada por
W = −γB0 Jx ,

(11)

onde γ é a razão giromagnética (γ < 0). Use a definição
p dos operadores J± = Jx ± iJy para escrever a matriz
de representação da pertubação W . Dica: J± | j, mi = ( j ∓ m)( j ± m + 1)| j, m ± 1i.
c) Suponha que ω1 = ω0 . Para |γB0 |  ω0 , calcule as correções em primeira ordem para as energias do
sistema. Calcule as correções de ordem zero para os estados.
d) Suponha que ω1 = 2ω0 . Para |γB0 |  ω0 , calcule as correções em primeira e segunda ordem para as
energias do sistema.
3) Considere um sistema de 2 níveis, |ϕ1 i e |ϕ2 i, acoplados por uma perturbação W . Vamos supor que, na
ausência da pertubação, o estado |ϕ1 i é instável, com um tempo de vida τ1 . Suponha que as energias do
sistema não perturbado são:
ε1 = E1 − i}γ/2

(12)

ε2 = E2 ,

(13)

onde γ = 1/τ1 . Neste caso, o sistema possui um "Hamiltoniano" H0 não Hermitiano. (a) Sabendo que
∗ |ϕ i, calcule as novas energias do sistema a partir da diagonalização direta
W |ϕ2 i = W12 |ϕ1 i e W |ϕ1 i = W12
2
de H = H0 +W , com |W12 |  (E2 − E1 ). Interprete o resultado obtido.
(b) Suponha que E2 = E1 . Mostre que o "Hamiltoniano" H pode ser escrito como


}γ
H = E1 − i
I + K,
(14)
4
onde I é a identidade e o operador K é dado por
(K) =

−i }γ4
∗
W12

W12
i }γ4

!
(15)

c) Diagonalize a matriz de K e mostre que as energias do sistema são
}γ
+ k1
4
}γ
ε20 = E1 − i − k1 ,
4
ε10 = E1 − i

(16)
(17)

q
com k1 = |W12 |2 − (}γ/4)2 .
d) Mostre que os autovetores não normalizados de H e K são dados por:


}γ
|ψ1 i = W12 |ϕ1 i + k1 + i
|ϕ2 i
4


}γ
|ψ2 i = W12 |ϕ1 i − k1 − i
|ϕ2 i
4

(18)
(19)

e) Supondo que, em t = 0, o estado do sistema é |Ψ(0)i = |ϕ2 i, calcule |Ψ(t)i. Determine a probabilidade
de P12 (t) = |hϕ1 |Ψ(t)i|2 . Analise os casos em que k1 é puramente real ou puramente imaginário.